Arányosság, százalékszámítás, szöveges feladatok

Tételszám: #10 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel azokról a feladatokról szól, ahol hétköznapi helyzetből kell számolnod: leárazás, kedvezmény, szavazati arány, hány teli tasak lesz a szőlőléből, hány fordulót tesz meg a teherautó. Három eszközt használsz: az egyenes és a fordított arányosságot, a százalékszámítást, és ha ez nem elég, az egyenletet, amelyet a szövegből írsz fel.

Az írásbelin ez a téma két formában jön elő. Az I. részben 2 pontos rövid feladatként, például 2023 májusában (20%-os árcsökkentés), 2024 májusában (hányan szavaztak, ha a szavazók 55%-a 10 593 fő) és 2026 októberében (30%-os leárazás). A II. részben egy összetett feladat részeként: 2025 októberében a 17. feladat a), b) és c) része együtt 12 pontot ért, és mindhárom a százalékos kedvezményről szólt.

Az elsőfokú egyenlet megoldását és a szöveges feladat négy lépését (jelölés, egyenlet, megoldás, ellenőrzés) a 6. tétel tanítja. Itt arra figyelünk, hogyan lesz a szövegből arány, százalék és egyenlet. A kamatos kamat (14. tétel) és a statisztikai százalékok (25-26. tétel) külön tételek.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

A nehéz rész itt nem a számolás, hanem a felismerés: melyik mennyiség a százalékalap, és a két mennyiség egyenesen vagy fordítottan arányos-e.

Árulkodó jelek a feladat szövegében

• „...%-kal csökkentették”, „leárazzák”, „kedvezményt ad”. Százalékos csökkentés: az eredeti ár a százalékalap, és a (100 - p)%-át fizeted.
• „...-a ennyi, hány ... volt összesen?” Az egész (a százalékalap) a kérdés, a rész ismert. Ilyenkor osztasz, nem szorzol.
• „Hány százaléka?”, „hány éves az, aki ennyit fizet?” A százaléklábat keresed: a részt elosztod az egésszel, és szorzod 100-zal.
• „Ha kétszer annyi ..., akkor kétszer annyi ...” vagy egységár, fogyasztás, „1 liter ... 1,3 kg-ból készül”. Ez egyenes arányosság.
• „Ha kevesebb teherautó, akkor több forduló”, ugyanaz a mennyiség több részre osztva. Ez fordított arányosság.
• „A ... aránya 3 : 2”, „4-szer annyi”. Arányos osztás: az egészet annyi egyenlő részre osztod, amennyi az arányszámok összege.
• Két feltétel, és egyik sem adja ki közvetlenül a választ (például „háromszor annyi éves” és „háromszor annyit fizetne”). Itt egyenletet írsz fel, ahogy az 5. és 6. mintapélda mutatja.

A keverési, mozgásos és együttes munkavégzéses feladatot a középszintű követelmény nem nevesíti; ha mégis ilyennel találkozol, ugyanígy, arányossággal és egyenlettel oldod meg.

3. Fogalmak és képletek

Ebben a szakaszban a fogalmakat és a képleteket ismered meg. A mintapéldák ezekre épülnek.

Egyenes arányosság

Két mennyiség egyenesen arányos, ha a hányadosuk állandó. Ha az egyiket x-szel, a másikat y-nal jelölöd:

y / x = k   (k ≠ 0 állandó, az arányossági tényező)
y = k · x

Ebből következik, hogy ha az egyik mennyiség kétszeresére, háromszorosára nő, a másik is a kétszeresére, háromszorosára nő. Példa: ha 3 kg alma 1200 Ft, akkor 1 kg 400 Ft, és 5 kg 5 · 400 = 2000 Ft. Itt k = 400 Ft/kg, az egységár.

Grafikonja: az y = k · x függvény grafikonja egy origón átmenő egyenes. Ha csak pozitív mennyiségekről van szó (tömeg, ár), akkor ennek csak az origóból induló, jobbra felfelé menő része kell. A meredekség maga a k: egy egységgel jobbra lépve k-val emelkedik.

Vigyázz: nem minden együtt növő pár egyenesen arányos. Ha a négyzet oldalát kétszeresére növeled, a területe a négyszeresére nő, tehát a terület nem egyenesen arányos az oldallal. Az y = x + 3 is együtt nő, de a grafikonja nem megy át az origón, tehát ez sem egyenes arányosság.

Fordított arányosság

Két mennyiség fordítottan arányos, ha a szorzatuk állandó:

x · y = c   (c állandó)
y = c / x

Ha az egyik mennyiség kétszeresére nő, a másik a felére csökken. Példa: 24 szem cukorkát szétosztasz. 6 gyerek között mindenki 4 szemet kap, 8 gyerek között 3 szemet. A szorzat mindkét esetben 24.

Grafikonja: az y = c / x függvény grafikonja hiperbola. Pozitív mennyiségeknél csak az egyik ága kell: ez egy balról jobbra csökkenő görbe, amely egyre közelebb kerül a két tengelyhez, de egyiket sem éri el.

A fordított arányosságnál a megoldás kulcsa: előbb kiszámolod az állandó szorzatot (az összes munkát, az összes mennyiséget), és azt osztod el az új számmal.

Arány és arányos osztás

Az a : b arány azt mondja meg, hogy az első mennyiség hányszorosa a másodiknak; a : b = a / b. A 27 : 18 arány egyszerűsítve 3 : 2, mert mindkét szám osztható 9-cel.

Arányos osztás: ha egy egészet (például 32 tanulót) 5 : 3 arányban osztasz két részre, akkor az egész 5 + 3 = 8 egyenlő részből áll. Egy rész 32 : 8 = 4, tehát az egyik csoport 5 · 4 = 20, a másik 3 · 4 = 12 fő.

Ugyanez a „4-szer annyi” is: ha Bélának 4-szer annyi pontja van, mint Andrásnak, akkor kettejük pontjainak aránya 4 : 1, és az együttes pontszám 4 + 1 = 5 részből áll.

Ha egy arány megváltozik (például új dolgozók érkeznek), akkor a régi arányszámokat egy közös ismeretlennel írod fel: 3x és 2x. Így egy ismeretlened marad, és az új arányból egyenletet írsz fel. Ezt mutatja az 5. mintapélda.

Százalékalap, százalékérték, százalékláb

A százalék századrészt jelent: 1% = 1/100 = 0,01. A százalékszámításban három mennyiséggel dolgozol:

• Százalékalap (a): az egész, amihez viszonyítasz, ez a 100%. Például az eredeti ár, az összes szavazó.
• Százalékláb (p): hány százalékról van szó. Például 20%.
• Százalékérték (é): az alap p százaléka, vagyis a rész. Például a kedvezmény forintban.

Az összefüggés, és belőle mindhárom alakja:

é = a · p / 100        (százalékérték: szorzol)
a = é · 100 / p        (százalékalap: osztasz)
p = é / a · 100        (százalékláb: a részt osztod az egésszel)

Számológéppel kényelmesebb a tizedes tört alak: a 20% az 0,2, az 55% az 0,55. Így a 10 593 fő az összes szavazó 55%-a: a · 0,55 = 10 593, tehát a = 10 593 : 0,55.

Egy százalékos feladatban az első kérdés: minek a százaléka? A százalékalap az, ami után a „-nak a”, „-hez képest” áll. „A lányok száma hány százaléka a fiúk számának?” Itt a fiúk száma az alap.

Százalékos növelés és csökkentés: a szorzó

Ha egy mennyiséget p%-kal növelsz, az új érték az eredeti (100 + p)%-a. Ha p%-kal csökkentesz, az új érték az eredeti (100 - p)%-a. Ezt egy szorzóval egy lépésben kiszámolod:

p%-os növelés:     új = régi · (1 + p/100)      pl. 20% -> · 1,2
p%-os csökkentés:  új = régi · (1 - p/100)      pl. 30% -> · 0,7

Visszafelé, az új értékből a régit osztással kapod: ha 5% kedvezménnyel 3040 Ft-ot fizettél, akkor az eredeti ár 3040 : 0,95 = 3200 Ft. Nem 3040 · 1,05, mert az 5% az eredeti árra vonatkozik, nem a kedvezményesre.

Egymás utáni változásoknál a szorzók szorzódnak, a százalékok nem adódnak össze. Ha egy árat előbb 20%-kal emelnek, aztán 20%-kal csökkentenek, a szorzó 1,2 · 0,8 = 0,96. Az ár tehát 4%-kal alacsonyabb lesz, mint eredetileg volt, nem ugyanannyi.

Kerekítés pénznél: a forintot forintra kerekíted, mert ennél kisebb egységgel nem fizetsz. Ha egy 8490 Ft-os termék árát 12%-kal csökkentik, az új ár 8490 · 0,88 = 7471,2 Ft, kerekítve 7471 Ft. Ha a feladat más kerekítést kér, azt kell betartanod.

Százalék és százalékpont

A százalékpont két százalékos érték különbsége. Ha egy párt támogatottsága 20%-ról 25%-ra nő, akkor a növekedés 5 százalékpont. Százalékban viszont a növekedés 5 / 20 · 100 = 25%, mert a régi érték, a 20% az alap.

Úgy jegyezd meg: a százalékpont kivonással jön ki (25 - 20), a százalékos változás osztással (a változás osztva a régi értékkel). Ha a szövegben két százalékos adat különbségéről van szó, nézd meg, melyiket kérdezik.

Szöveges feladat modellezése: értelmezési tartomány és ellenőrzés

Ha egyenletet írsz fel, a 6. tételben tanult négy lépést követed: jelölés, egyenlet, megoldás, ellenőrzés a szöveg alapján. Két dolgot itt külön kér a követelmény.

A változó értelmezési tartománya. Mielőtt számolsz, gondold végig, milyen értéket vehet fel az ismeretlen a szöveg szerint. Életkor és létszám pozitív egész, ár pozitív, kedvezmény legfeljebb 100% lehet. Ha a nagymama 3p éves, és annyi százalék kedvezményt kap, akkor 3p ≤ 100, tehát p ≤ 33.

Az eredmény összevetése a szöveggel. A kapott számot nem a saját egyenletedbe, hanem a szövegbe helyettesíted vissza. Így derül ki, ha az egyenletet rosszul írtad fel. Ha az egyetlen kapott eredmény kilóg az értelmezési tartományból (negatív életkor, 2,5 ember), akkor valahol hiba van. Ha viszont egy másodfokú egyenlet két gyöke közül csak az egyik kilóg, azt a szöveg alapján elveted (7. tétel), és ezt le is írod.

A végén szöveges választ adsz, mértékegységgel. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges megfogalmazásban is közölni kell.

4. Mintapélda 1 - hányan szavaztak? (I. rész)

A feladat (2024. május, I. rész 9. feladat, 2 pont). Egy városban a polgármester-választáson a győztes jelöltre a szavazók 55%-a szavazott, ez 10 593 szavazat volt. Hányan vettek részt a szavazáson?

Felismerés. Az ismert szám, a 10 593 a rész (százalékérték), az 55% a százalékláb. A kérdés az egész, vagyis a százalékalap: ezért osztasz.

Megoldás.

1. lépés: a résztvevők számát jelöljük a-val. Az a 55%-a 10 593:
   a · 0,55 = 10 593

2. lépés: mindkét oldalt elosztjuk 0,55-tel.
   a = 10 593 : 0,55 = 19 260

Tehát 19 260-an vettek részt a szavazáson.

Becslés. Az 55% valamivel több a felénél, tehát az egész valamivel kevesebb, mint a rész kétszerese (2 · 10 593 = 21 186). A 19 260 ehhez illik. Visszafelé: 19 260 · 0,55 = 10 593.

Amire pont jár. Az útmutató a (10 593 : 0,55 =) 19 260-ért adja a 2 pontot. Az I. részben a keretbe a végeredmény kerül.

A gyakori hiba itt a 10 593 · 0,55 ≈ 5826. Ez a 10 593-nak az 55%-a, de a 10 593 nem az alap, hanem a rész.

Gyakorold (2026. október, I. rész 1. feladat, 2 pont). Egy 35 000 Ft-os cipőt 30%-kal leáraznak. Mennyibe kerül a leárazás után? Itt az alap ismert, a 70%-át fizeted: 35 000 · 0,7 = 24 500 Ft. Ugyanez a típus volt 2023 májusában, I. rész 1. feladatként: a 21 000 Ft-os cipő ára 20%-kal csökkent, az új ár 21 000 · 0,8 = 16 800 Ft.

5. Mintapélda 2 - teherautók fordulói, fordított arányosság (I. rész)

A feladat (2023. október, I. rész 2. feladat, 2 pont). Egy építkezésre teherautókkal szállítják a homokot. Öt egyforma teherautó mindegyikének nyolcszor kellene fordulnia, hogy az összes homokot odaszállítsák. Hány fordulóval tudná odaszállítani ugyanezt a mennyiségű homokot négy ugyanekkora teherautó?

Felismerés. A homok mennyisége ugyanannyi. Kevesebb teherautó mellett mindegyiknek többször kell fordulnia: a teherautók száma és a fordulók száma fordítottan arányos, a szorzatuk állandó.

Megoldás.

1. lépés: az összes forduló száma (ez az állandó szorzat).
   5 teherautó · 8 forduló = 40 forduló

2. lépés: a 40 fordulót 4 teherautó között osztjuk el.
   40 : 4 = 10 forduló

Tehát a négy teherautó mindegyikének 10-szer kell fordulnia.

Amire pont jár. Az útmutató a (5 · 8 / 4 =) 10-ért adja a 2 pontot.

Ha valaki egyenes arányosságnak nézi, 4 · 8 / 5 = 6,4 fordulót kap. Ez kétszeresen is gyanús: kevesebb autóval nem lehet kevesebb forduló, és fél fordulót sem tesz egy teherautó.

Gyakorold (2022. október, I. rész 4. feladat, 2 pont). Egy 35 g-os csokoládészelet csomagolásán az áll, hogy 100 g termék 520 kcal energiát tartalmaz. Hány kcal energiát tartalmaz a szelet? Itt a tömeg és az energia egyenesen arányos: a 35 g a 100 g 0,35-szöröse, tehát 0,35 · 520 = 182 kcal.

6. Mintapélda 3 - teli tasakok szőlőléből (II. rész)

A feladat (2022. május, II. rész 15. a) feladat, 4 pont). 1 liter szőlőlé 1,3 kg szőlőből készül. A szőlőlevet 5 literes tasakokba töltik. Hány teli tasak szőlőlé készül 4,7 tonna szőlőből?

Felismerés. A szőlő tömege és a szőlőlé mennyisége egyenesen arányos. Két buktató van: a mértékegység (tonna és kg) és a kerekítés (teli tasakot kérdeznek).

Megoldás.

1. lépés: átváltás, hogy a mértékegység egyezzen az 1,3 kg-mal.
   4,7 tonna = 4700 kg

2. lépés: hány liter lé készül? Minden 1,3 kg-ból 1 liter, ezért osztunk.
   4700 : 1,3 ≈ 3615,4 liter     (egy tizedesjegyre kerekítve)

3. lépés: hány 5 literes tasak telik meg?
   3615,4 : 5 ≈ 723,08

A 723,08-at lefelé kerekíted 723-ra, mert a 724. tasak már nem telne meg. Itt nem a kerekítés szabálya dönt, hanem a kérdés: teli tasakot kérdeznek.

Tehát 4,7 tonna szőlőből 723 teli tasak szőlőlé készül.

Amire pont jár. Egy pont jár a 4700 kg-ért, kettő a 4700 : 1,3 ≈ 3615,4 literért, és egy a 723 tasakért. Az útmutató egy másik utat is elfogad: egy tasakhoz 5 · 1,3 = 6,5 kg szőlő kell, és 4700 : 6,5 ≈ 723,1, tehát 723 tasak telik meg.

7. Mintapélda 4 - kedvezmény az életkor szerint, oda és vissza (II. rész)

A feladat (2025. október, II. rész 17. a) és b) feladat, 2 + 3 pont). Egy szemüvegbolt egy akció során a keretek árából annyi százalék kedvezményt ad, ahány éves a vásárló.

a) Mennyit fizet egy 30 000 Ft-os keretért egy 37 éves vásárló?

b) Hány éves az a vásárló, aki egy 30 000 Ft-os keretért 16 500 Ft-ot fizet?

Felismerés. Az a) részben az alap (30 000 Ft) és a százalékláb (37%) ismert, a fizetett összeget keresed. A b) részben fordítva: az alap és a fizetett összeg ismert, a százaléklábat keresed, és abból az életkort.

Megoldás, a) rész.

1. lépés: 37% kedvezmény mellett az ár (100 - 37 =) 63%-át fizeti.

2. lépés: a fizetett összeg.
   30 000 · 0,63 = 18 900 Ft

Tehát a 37 éves vásárló 18 900 Ft-ot fizet. Két lépésben is jó: a kedvezmény 30 000 · 0,37 = 11 100 Ft, és 30 000 - 11 100 = 18 900 Ft.

Megoldás, b) rész.

1. lépés: a 16 500 Ft az ár hány százaléka? (rész / egész · 100)
   16 500 / 30 000 · 100 = 55

2. lépés: a vásárló az ár 55%-át fizeti, tehát a kedvezmény
   100 - 55 = 45%.

3. lépés: a kedvezmény százaléka egyenlő az életkorral: 45 év.

Tehát a vásárló 45 éves.

Amire pont jár. Az a) részben egy pont jár a 63%-ért (vagy a 11 100 Ft kedvezményért), egy a 18 900 Ft-ért. A b) részben egy pont a 16 500 / 30 000 · 100 felírásáért, egy az 55%-ért, egy a 45 évért. A b) is mehet a kedvezményen át: 30 000 - 16 500 = 13 500 Ft, és 13 500 / 30 000 · 100 = 45.

A gyakori hiba a b) részben, hogy az 55-öt adják meg életkornak. Az 55% az, amit fizet, nem a kedvezmény.

Gyakorold (2023. október, II. rész 17. b) feladat, 2 pont). Jegykiadó automatánál a vonatjegy árából 5% kedvezmény jár. Mennyi a kedvezmény nélküli ára annak a jegynek, amelyért 3040 Ft-ot fizettünk? A 3040 Ft az eredeti ár 95%-a, ezért 3040 : 0,95 = 3200 Ft. Az útmutató egy pontot ad a 3040 : 0,95 felírásáért, egyet a 3200-ért.

8. Mintapélda 5 - megváltozó arány a gyárban (II. rész)

A feladat (2022. október, II. rész 17. b) feladat, 6 pont). Egy ceruzagyárban a nők és a férfiak aránya jelenleg 3 : 2. Ha felvennének még 5 nőt és 6 férfit, az arány 4 : 3-ra módosulna. Hány nő és hány férfi dolgozik jelenleg a gyárban?

Felismerés. Két arány van, és két ismeretlen létszám. Ha a jelenlegi arányt egy közös ismeretlennel írod fel (3x és 2x), egyetlen ismeretlen marad, és az új arányból egyenlet lesz.

Értelmezési tartomány. A létszám pozitív egész, tehát a 3x és a 2x is az. Ha x nem egész jönne ki, gyanakodj.

Megoldás.

1. lépés: a nők száma 3x, a férfiaké 2x (így az arányuk 3 : 2).

2. lépés: a felvétel után a nők 3x + 5-en, a férfiak 2x + 6-an lennének,
   és ezek aránya 4 : 3.
   (3x + 5) / (2x + 6) = 4 / 3

3. lépés: mindkét oldalt szorozzuk 3(2x + 6)-tal, hogy eltűnjenek a nevezők
   (a 2x + 6 pozitív, mert létszám).
   3(3x + 5) = 4(2x + 6)
   9x + 15 = 8x + 24

4. lépés: rendezés.
   x = 9

5. lépés: a létszámok.
   nők: 3 · 9 = 27,  férfiak: 2 · 9 = 18

Ellenőrzés a szöveg alapján. Most 27 : 18 = 3 : 2. A felvétel után (27 + 5) : (18 + 6) = 32 : 24 = 4 : 3. Mindkét arány stimmel.

Tehát jelenleg 27 nő és 18 férfi dolgozik a gyárban.

Amire pont jár. Egy-egy pont jár a 3x és 2x jelölésért, a (3x + 5) / (2x + 6) = 4 / 3 egyenletért, a 9x + 15 = 8x + 24 alakért, az x = 9-ért, a 27 nő és 18 férfi megadásáért, és a szöveg alapján végzett ellenőrzésért. Két ismeretlennel is elfogadják: n / f = 3 / 2 és (n + 5) / (f + 6) = 4 / 3.

Az x itt a nevezőben is szerepel, de a nevező létszám, tehát pozitív, így szorozhatsz vele, és keresztbe szorzás után elsőfokú egyenlet marad. Arány nélkül is felírhatod: 3(3x + 5) = 4(2x + 6), vagyis a felvétel utáni női létszám háromszorosa egyenlő a férfi létszám négyszeresével. Az ilyen, szöveges feladatból adódó egyszerű aránypár keresztbe szorzással középszintű eszköz (az útmutató sem kér hozzá kikötést); a törtes egyenletek általános megoldása, kikötéssel és az értelmezési tartomány vizsgálatával, a 6. tétel szerint emelt szintű.

Gyakorold (2024. október, I. rész 9. feladat, 2 pont). Egy játékban Bélának 4-szer annyi pontja van, mint Andrásnak, és kettejüknek együtt 6500 pontjuk van. Hány pontja van Bélának? Az együttes pontszám 4 + 1 = 5 rész, egy rész 6500 : 5 = 1300 pont (ennyi Andrásé), tehát Bélának 4 · 1300 = 5200 pontja van.

9. Mintapélda 6 - Péter és a nagymamája (II. rész)

A feladat (2025. október, II. rész 17. c) feladat, 7 pont). Ugyanabban a szemüvegboltban (annyi százalék kedvezmény, ahány éves a vásárló) Péter nagymamája háromszor annyi éves, mint Péter. Ha mindketten egy-egy 30 000 Ft-os keretet vennének az akció során, Péter háromszor annyit fizetne, mint a nagymamája. Hány éves Péter, és hány éves a nagymamája?

Felismerés. Két feltétel van: az életkorok és a fizetett összegek között. Egyik sem adja ki közvetlenül a választ, ezért egyenletet írsz fel. A fizetett összeget a 4. mintapélda szerint, szorzóval írod fel.

Értelmezési tartomány. Péter életkora p év, pozitív egész. A nagymama 3p éves, és 3p százalék kedvezményt kap, ami legfeljebb 100 lehet, tehát p ≤ 33.

Megoldás.

1. lépés: a fizetett összegek.
   Péter p% kedvezményt kap:          30 000 · (1 - p/100)
   a nagymama 3p% kedvezményt kap:    30 000 · (1 - 3p/100)

2. lépés: Péter háromszor annyit fizet, mint a nagymamája.
   30 000 · (1 - p/100) = 3 · 30 000 · (1 - 3p/100)

3. lépés: osztunk 30 000-rel, majd szorzunk 100-zal.
   100 - p = 3 · (100 - 3p)
   100 - p = 300 - 9p

4. lépés: rendezés (+9p, -100 mindkét oldalon).
   8p = 200
   p = 25

5. lépés: a nagymama életkora.
   3 · 25 = 75 év

Ellenőrzés a szöveg alapján. Péter 25% kedvezménnyel 30 000 · 0,75 = 22 500 Ft-ot fizet. A nagymama 75% kedvezménnyel 30 000 · 0,25 = 7500 Ft-ot. Valóban 22 500 = 3 · 7500. A p = 25 egész, és 25 ≤ 33.

Tehát Péter 25 éves, a nagymamája 75 éves.

Amire pont jár. Két pont jár az egyenlet felírásáért, kettő a 100 - p = 300 - 9p alakért, egy a p = 25-ért, egy a 75 évért, és egy a szöveg alapján végzett ellenőrzésért. Az útmutató azt is elfogadja, ha az életkor századrészét jelölöd r-rel: 30 000 · (1 - r) = 3 · 30 000 · (1 - 3r), ebből r = 0,25, tehát Péter 25 éves.

Figyelj a felírásnál: p% kedvezmény mellett a szorzó 1 - p/100, nem 1 - p. A 30 000 · (1 - p) a p = 25-re negatív árat adna.

10. Tipikus hibák

Itt a legtöbben elrontják: összekeverik a százalékalapot és a százalékértéket. Ha a 10 593 szavazat az összes szavazó 55%-a, akkor az összes szavazó 10 593 : 0,55 = 19 260, nem 10 593 · 0,55. Mindig kérdezd meg: az ismert szám az egész vagy a rész?

Visszafelé ugyanannyi százalékot adnak hozzá. Ha az 5%-kal csökkentett ár 3040 Ft, az eredeti nem 3040 · 1,05 = 3192 Ft, hanem 3040 : 0,95 = 3200 Ft. Az 5% az eredeti árra vonatkozik, és az nagyobb, mint a 3040.

Összeadják az egymás utáni százalékos változásokat. 20% emelés, utána 20% csökkentés nem nulla változás: a szorzó 1,2 · 0,8 = 0,96, tehát az ár 4%-kal kevesebb, mint az eredeti volt.

Összekeverik a százalékot és a százalékpontot. A 20%-ról 25%-ra növekedés 5 százalékpont, de 25%-os növekedés. A százalékpont különbség, a százalékos változás hányados.

Egyenes arányossággal számolnak, amikor fordított a helyzet. Ha 5 teherautó 8-szor fordul, 4 teherautó nem 4 · 8 / 5 = 6,4-szer, hanem 5 · 8 / 4 = 10-szer. Kérdezd meg: ha az egyik nő, a másik nő vagy csökken?

Az arányos osztásnál nem az arányszámok összegével osztanak. Ha 32 tanulót 5 : 3 arányban osztasz, egy rész 32 : (5 + 3) = 4, nem 32 : 5. A „4-szer annyi” 4 + 1 = 5 rész.

Rossz irányba kerekítenek. A 723,08 tasakból 723 teli tasak lesz, nem 724, mert a kérdés a teli tasak. Pénzösszeget forintra kerekíts. Ha a feladat előírja a kerekítést, azt be kell tartanod: a 2022. októberi I. rész 7. feladatánál az útmutató szerint kerekítés nélkül vagy rossz kerekítéssel legfeljebb 1 pont járt a 2-ből.

Elfelejtik a mértékegység-átváltást. 4,7 tonna = 4700 kg. Ha 4,7 : 1,3-mal számolsz, ezerszer kisebb eredményt kapsz.

Az ellenőrzést a saját egyenletbe helyettesítve végzik. A szövegbe helyettesíts: Péter 22 500 Ft-ot, a nagymama 7500 Ft-ot fizet, és 22 500 = 3 · 7500. A szöveg alapján végzett ellenőrzés a 2022. októberi és a 2025. októberi feladatban is külön pontot ért.

11. Ellenőrzés

1. Helyettesíts vissza a szövegbe. A 2022. októberi feladatban 27 nő és 18 férfi: 27 : 18 = 3 : 2, és (27 + 5) : (18 + 6) = 32 : 24 = 4 : 3. Ha a két arány stimmel, a válasz jó.

2. Számolj visszafelé százaléknál. Ha az eredeti ár 3200 Ft, akkor 5% kedvezménnyel 3200 · 0,95 = 3040 Ft. Ha a szavazók száma 19 260, akkor az 55%-uk 19 260 · 0,55 = 10 593.

3. Becsülj előre. Az 55% valamivel több a felénél, ezért az egész valamivel kevesebb a rész kétszeresénél. A 30%-os leárazás után az ár kevesebb a 35 000 Ft-nál, de több a felénél.

4. Nézd meg az irányt. Kedvezmény után az ár kisebb, emelés után nagyobb, mint előtte. Fordított arányosságnál kevesebb teherautóhoz több forduló tartozik. Ha a válaszod ennek ellentmond, keresd a hibát.

5. Vesd össze az értelmezési tartománnyal. Az életkor, a létszám, a tasakok száma pozitív egész, a kedvezmény legfeljebb 100%. A p = 25 év és a 75 év életszerű; ha 140 év vagy negatív szám jönne ki, valahol hibáztál (a felírásban vagy a számolásban).

6. Írj szöveges választ, mértékegységgel. „Péter 25 éves, a nagymamája 75 éves.” „A négy teherautó mindegyikének 10-szer kell fordulnia.”

12. Összefoglaló

• Két mennyiség egyenesen arányos, ha a hányadosuk állandó (y = k · x); grafikonja origón átmenő egyenes.
• Két mennyiség fordítottan arányos, ha a szorzatuk állandó (x · y = c); grafikonja hiperbola, pozitív mennyiségeknél annak egyik ága.
• Arányos osztásnál az egészet az arányszámok összegével osztod: 32 tanuló 5 : 3 arányban 8 rész, egy rész 4 fő.
• A százalékalap az egész (100%), a százalékláb a p, a százalékérték a rész: é = a · p / 100.
• Ha a rész ismert és az egész a kérdés, osztasz: a = é · 100 / p, például 10 593 : 0,55 = 19 260.
• A százaléklábat úgy kapod, hogy a részt elosztod az egésszel és szorzod 100-zal: 16 500 / 30 000 · 100 = 55.
• p%-os növelés szorzója 1 + p/100, csökkentésé 1 - p/100; visszafelé a szorzóval osztasz.
• Egymás utáni százalékos változásoknál a szorzók szorzódnak: 1,2 · 0,8 = 0,96.
• A százalékpont két százalékos érték különbsége; 20%-ról 25%-ra 5 százalékpont, de 25%-os növekedés.
• Szöveges feladatnál megadod a változó értelmezési tartományát, és az eredményt a szöveggel veted össze.
• Kerekítésnél a kérdés dönt: teli tasakot lefelé kerekítesz, pénzt forintra.
• A végeredményt szöveges válaszban, mértékegységgel adod meg.

13. Kulcsfogalmak

• Egyenes arányosság - két mennyiség hányadosa állandó: y = k · x (k ≠ 0); ha az egyik a kétszeresére nő, a másik is.
• Fordított arányosság - két mennyiség szorzata állandó: x · y = c; ha az egyik a kétszeresére nő, a másik a felére csökken.
• Arányossági tényező - az egyenes arányosság állandó hányadosa (k), például az egységár.
• Arány - két mennyiség hányadosa a : b alakban; egyszerűsíthető, mint a tört (27 : 18 = 3 : 2).
• Arányos osztás - az egészet az arányszámok összegével osztod, és a részeket az arányszámokkal szorzod.
• Százalék - századrész: 1% = 0,01.
• Százalékalap - az egész, amihez viszonyítasz; ez a 100%.
• Százalékláb - megmutatja, hány százalékról van szó (a p).
• Százalékérték - az alap p százaléka, vagyis a rész: é = a · p / 100.
• Szorzó - a százalékos változás egy számmal: p%-os növelésnél 1 + p/100, csökkentésnél 1 - p/100.
• Százalékpont - két százalékos érték különbsége.
• Értelmezési tartomány (szöveges feladatban) - azok az értékek, amelyeket az ismeretlen a szöveg szerint felvehet (például pozitív egész életkor).
• Ne keverd össze: százalékalap és százalékérték - az alap az egész, az érték a rész; az alapot osztással, az értéket szorzással kapod.
• Ne keverd össze: százalékpont és százalék - 20%-ról 25%-ra 5 százalékpont, de 25%-os növekedés.

14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Mikor egyenesen és mikor fordítottan arányos két mennyiség? Milyen a grafikonjuk?

Két mennyiség egyenesen arányos, ha a hányadosuk állandó, vagyis y = k · x. Ilyenkor ha az egyik a kétszeresére nő, a másik is. A grafikonja origón átmenő egyenes. Fordítottan arányos, ha a szorzatuk állandó, vagyis x · y = c. Ilyenkor ha az egyik a kétszeresére nő, a másik a felére csökken. A grafikonja hiperbola, pozitív mennyiségeknél annak egyik ága.

2. Mi a százalékalap, a százalékláb és a százalékérték, és hogyan számolod ki őket?

A százalékalap az egész, ez a 100%. A százalékláb megmondja, hány százalékról van szó. A százalékérték az alap ennyi százaléka, vagyis a rész. Az összefüggés é = a · p / 100. Ha az alap a kérdés, osztok: a = é · 100 / p. Ha a százalékláb a kérdés, a részt elosztom az egésszel, és szorzom 100-zal.

3. Hogyan számolod ki az eredeti árat, ha a 15%-kal csökkentett ár 6800 Ft?

A kedvezményes ár az eredeti 85%-a, tehát az eredeti ár szorozva 0,85-tel 6800 Ft. Ebből az eredeti ár 6800 : 0,85 = 8000 Ft. Hibás lenne a 6800-hoz 15%-ot adni, mert a 15% az eredeti árra vonatkozik, nem a kedvezményesre. Ellenőrzés: 8000 · 0,85 = 6800. (Ugyanez a típus a 2023. októberi vonatjegyes feladat, 7. szakasz.)

4. Mi a különbség a százalék és a százalékpont között?

A százalékpont két százalékos érték különbsége. Ha valami 30%-ról 36%-ra nő, az 6 százalékpontos növekedés. Százalékban viszont a változást a régi értékhez viszonyítom: 6 / 30 · 100 = 20%. A százalékpont tehát kivonással, a százalékos változás osztással jön ki.

5. Miért nem nulla a változás, ha egy árat valahány százalékkal emelnek, majd ugyanannyi százalékkal csökkentenek?

Mert a második százalék már az emelt árra vonatkozik, nem az eredetire. 30%-os emelésnél és utána 30%-os csökkentésnél az emelés szorzója 1,3, a csökkentésé 0,7, és ezek egymás után összeszorzódnak: 1,3 · 0,7 = 0,91. Az ár tehát az eredeti 91%-a lesz, vagyis 9%-kal alacsonyabb.

6. Hogyan oldasz meg egy megváltozó arányos feladatot, például ha a nők és férfiak aránya 4 : 3, és 2 nő és 4 férfi felvétele után 6 : 5 lenne?

A jelenlegi létszámokat egy közös ismeretlennel írom fel: 4x nő és 3x férfi. A változás után a létszámokból felírom az új arányt egyenletként: (4x + 2) / (3x + 4) = 6 / 5. Keresztbe szorzással 20x + 10 = 18x + 24, tehát x = 7. Így 28 nő és 21 férfi dolgozik. Végül a szövegbe helyettesítve ellenőrzöm mindkét arányt: 28 : 21 = 4 : 3 és 30 : 25 = 6 : 5. A módszert az 5. mintapélda (2022. október) mutatja végig.

7. Mit jelent, hogy a szöveges feladatban meg kell adni a változó értelmezési tartományát, és az eredményt össze kell vetni a szöveggel?

Azt, hogy a számolás előtt végiggondolom, milyen értéket vehet fel az ismeretlen a szöveg szerint. Életkor és létszám pozitív egész, kedvezmény legfeljebb 100% lehet. A végén a kapott eredményt a szövegbe helyettesítem vissza, nem a saját egyenletembe. Péternél például 22 500 Ft valóban háromszorosa a nagymama 7500 Ft-jának. Ha az egyetlen kapott eredmény kilóg az értelmezési tartományból, hibát kell keresnem; ha egy másodfokú egyenlet két gyöke közül csak az egyik, azt a szöveg alapján elvetem.

8. Hogyan kerekítesz egy szöveges feladatban?

Ha a feladat előírja a kerekítést, azt tartom be. Ha nem, a kérdés dönt. Ha teli tasakokat kérdeznek, és 723,08 jön ki, akkor 723-at válaszolok, mert a 724. tasak nem telne meg. Pénzösszeget forintra kerekítek, mert ennél kisebb egységgel nem fizetünk. A részeredményeket elég pontosan viszem tovább, hogy a végeredmény ne romoljon el.