Számhalmazok, oszthatóság, számelmélet
Tételszám: #3 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)
1. Bevezetés
Ez a tétel a számokról szól: milyen számfajták vannak, hogyan bontasz fel egy számot prímszámok szorzatára, és mikor osztható egy szám egy másikkal. Ide tartozik a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös, az oszthatósági szabályok, a számrendszerek, valamint az intervallum, az abszolút érték és a kerekítés.
Az írásbelin ez a téma kis pontszámú, de rendszeresen előjön: a 2022 és 2026 közötti tíz középszintű feladatsorból legalább hétben volt közvetlenül ebből feladat. A 2024 és 2026 közötti hat feladatsorban átlagosan 3 pont körül jött belőle. Az I. részben 2-3 pontos rövid feladat a jellemző (egy szám prímtényezős felbontása, két szám legnagyobb közös osztója), a II. részben 3-5 pontos részkérdés egy hosszabb feladaton belül.
Ezen felül az oszthatóság sokszor egy halmazos, kombinatorikai vagy valószínűségi feladat része: a 2-vel, 3-mal, 5-tel osztható számokat kell halmazábrába írni vagy megszámolni. Ott is ezekre a szabályokra lesz szükséged.
2. Mire jó ez, mikor ismerd fel
A számelméleti feladat a legtöbbször rövid, és a szövegből egyértelmű, melyik eszköz kell. A nehéz rész a szöveges feladat: ott neked kell észrevenned, hogy a „csomag” vagy a „találkozás” mögött legnagyobb közös osztó vagy legkisebb közös többszörös rejlik.
Árulkodó szavak az oszthatósági feladatban
- „Prímtényezős felbontás”, „prímtényezőkre bont”. Egyenesen a felbontást kérik, ehhez a lépcsős osztás kell.
- „Legnagyobb közös osztó”, „összes közös osztó”. Előbb mindkét számot felbontod, aztán a közös prímtényezőkből építkezel.
- „Legkisebb közös többszörös”. Szintén felbontás, de most minden prímtényező kell, a nagyobbik kitevőn.
- „Egyforma csomagok”, „legfeljebb hány részre”, „maradék nélkül szétosztja”. Szöveges legnagyobb közös osztó: a csomagok száma mindkét mennyiségnek osztója.
- „Legközelebb mikor lesz újra egyszerre”, „legalább hány darab kell, hogy mindkét módon kijöjjön”. Szöveges legkisebb közös többszörös.
- „Osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel…”, „számjegyekből számot alkot”. Oszthatósági szabály kell, gyakran kombinatorikával együtt.
Árulkodó jelek a számhalmazos feladatban
- Halmazjel a szövegben: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Jelentheti, hogy el kell döntened, melyik számfajtába tartozik egy szám. Az is lehet, hogy egy függvény értelmezési tartományát adják meg vele, például f: ℝ → ℝ.
- Szögletes zárójel, például [-4; ∞[. Ez intervallum. El kell döntened, hogy a végpont benne van-e.
- Függőleges vonalak, például |x|. Ez abszolút érték, vagyis a szám távolsága a 0-tól.
- „Kerekítve adja meg”, „tíz grammra”, „két tizedesjegyre”. Kerekítés, és ha elmarad, a végeredmény pontja elveszik.
- „Kettes számrendszerben”, „ötös alapú”. Számrendszer-átírás. Erre a 2022 és 2026 közötti tíz középszintű feladatsorban nem volt feladat, de a követelményben benne van, ezért tudnod kell.
3. Fogalmak és képletek
Ebben a tételben kevés a képlet, és sok a pontos fogalom. Az alábbi alszakaszok a teljes eszköztárat adják, mindegyik mellé odaírjuk, mikor kell elővenni.
A számhalmazok: ℕ, ℤ, ℚ, ℚ*, ℝ
A számhalmazok egymásra épülnek, mindegyik bővíti az előzőt.
- ℕ, a természetes számok halmaza: 0, 1, 2, 3, … Ezekkel számolsz meg dolgokat.
- ℤ, az egész számok halmaza: …, -2, -1, 0, 1, 2, … A természetes számok és az ellentettjeik.
- ℚ, a racionális számok halmaza: azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, p / q alakban, ahol q ≠ 0. Például 3/4, -5/2, 0,2 = 1/5, és minden egész szám is, mert 7 = 7/1.
- ℚ, az irracionális számok halmaza:* azok a valós számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Például √2, √3, π.
- ℝ, a valós számok halmaza: a racionális és az irracionális számok együtt, vagyis ℝ = ℚ ∪ ℚ*. Ezek töltik ki a számegyenest.
A részhalmaz-viszony: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, és ℚ* ⊂ ℝ. A ℚ és a ℚ* diszjunkt (nincs közös elemük): egy valós szám vagy racionális, vagy irracionális, a kettő egyszerre nem lehet.
Az egészeken belül két szó gyakran előjön: a pozitív egész az 1, 2, 3, … számokat jelenti, a 0 nem tartozik közéjük. Ezek halmazának jele ℕ⁺ (a követelmény is így írja). Mivel a 0 hovatartozását nem minden könyv kezeli egyformán, az érettségi feladatlapok a ℕ jel helyett jellemzően kiírják: „pozitív egész szám”.
Racionális és irracionális számok, tizedestörtek
A két számfajtát a tizedestört alakjuk is megkülönbözteti. Ezt a kapcsolatot a követelmény külön kéri.
- Racionális szám tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos. Véges: 3/8 = 0,375. Végtelen szakaszos (egy számjegy-csoport ismétlődik a végtelenségig): 2/3 = 0,666…, ahol a 6 ismétlődik, és 5/11 = 0,4545…, ahol a 45-ös szakasz ismétlődik.
- Irracionális szám tizedestört alakja végtelen, nem szakaszos. A √2 = 1,41421356… vagy a π = 3,14159265… számjegyei soha nem kezdenek el szabályosan ismétlődni.
Egy közönséges törtet úgy írsz át tizedestörtté, hogy a számlálót elosztod a nevezővel. Fordítva, a véges tizedestörtet a helyiértékek alapján írod fel törtként: 0,375 = 375/1000 = 3/8. A végtelen szakaszos tizedestört közönséges törtté alakítása már emelt szint.
Vigyázz: nem minden gyökös szám irracionális. A √9 = 3 egész szám, tehát racionális. Az, hogy egy √n alakú számról általában eldöntsd, irracionális-e, szintén emelt szintű feladat.
Műveleti azonosságok, ellentett, reciprok, számológép
Az alapműveletekre három azonosság érvényes. Ezeket a követelmény név szerint kéri.
kommutativitás (felcserélhetőség): a + b = b + a a · b = b · a
asszociativitás (csoportosíthatóság): (a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
disztributivitás (széttagolhatóság): a · (b + c) = a · b + a · c
A kivonás és az osztás nem kommutatív: 7 - 3 ≠ 3 - 7, és 8 : 2 ≠ 2 : 8. A disztributivitás fejszámolásnál is jól jön: 7 · 98 = 7 · (100 - 2) = 700 - 14 = 686.
Egy szám ellentettje az a szám, amellyel összeadva 0-t kapsz: az 5 ellentettje -5, a -5 ellentettje 5. Egy szám reciproka az a szám, amellyel megszorozva 1-et kapsz: a 4 reciproka 1/4, a -2/3 reciproka -3/2. A 0-nak nincs reciproka, mert semmivel szorozva nem lesz belőle 1.
Számológépnél figyelj a műveleti sorrendre. A gép előbb szoroz és oszt, csak utána ad össze és von ki. A 12 + 8 / 4 eredménye a gépen 14, mert előbb a 8 / 4 = 2 jön. Ha (12 + 8) / 4 = 5 kell, a zárójelet be kell gépelned. Mielőtt gépelsz, becsüld meg az eredményt: 49 · 21 körülbelül 50 · 20 = 1000, tehát a gép 1029-es eredménye reális.
Számegyenes és intervallumok
Minden valós számnak egy pont felel meg a számegyenesen, és minden pontnak egy valós szám. A számegyenesen jobbra haladva nőnek a számok.
Az intervallum a számegyenes egy összefüggő szakasza. A jelölés a magyar iskolai gyakorlatban és az érettségin így néz ki:
zárt intervallum: [a; b] azok az x-ek, amelyekre a ≤ x ≤ b
nyílt intervallum: ]a; b[ azok az x-ek, amelyekre a < x < b
balról zárt, jobbról nyílt: [a; b[ a ≤ x < b
balról nyílt, jobbról zárt: ]a; b] a < x ≤ b
végtelen intervallum: [-4; ∞[ azok az x-ek, amelyekre x ≥ -4
A szabály egyszerű: ha a zárójel befelé néz a szám felé, a végpont benne van; ha kifelé néz, nincs benne. A végtelen (∞) nem szám, ezért mellette a zárójel mindig kifelé néz. A számegyenesen a benne lévő végpontot teli karikával, a ki nem zárt végpontot üres karikával jelölöd.
Például a ]-2; 3] intervallum egész elemei: -1, 0, 1, 2, 3. A -2 nincs benne, mert ott nyílt a végpont, a 3 benne van, mert ott zárt.
Abszolút érték
Egy szám abszolút értéke a szám távolsága a 0-tól a számegyenesen. Ezért soha nem negatív. A pontos definíció:
|a| = a, ha a ≥ 0
|a| = -a, ha a < 0
Például |7| = 7, |0| = 0, és |-7| = -(-7) = 7. A második sor azért ad pozitív számot, mert egy negatív szám ellentettje pozitív.
Ebből következik egy feladatokban hasznos szabály: két szám abszolút értéke pontosan akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő, vagy egymás ellentettjei. A |3| = |-3|, mert mindkettő 3 egységre van a 0-tól, csak az ellenkező oldalon. Abszolút értékes egyenlet megoldása algebrai úton már emelt szint, középszinten a definíciót és ezt a szabályt kell tudnod alkalmazni.
Kerekítés
Kerekítésnél azt a helyiértéket nézed, amelyikre kerekítesz, és az utána következő számjegyet. Ha ez a számjegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, lefelé kerekítesz (a megtartott jegyek nem változnak). Ha 5, 6, 7, 8 vagy 9, felfelé (az utolsó megtartott jegy eggyel nő).
3,14159 két tizedesjegyre: 3,14 (a következő jegy 1, lefelé)
2,678 egy tizedesjegyre: 2,7 (a következő jegy 7, felfelé)
141,6 tízesekre: 140 (a következő jegy 1, lefelé)
Kerekíteni a végén kell, a részeredményeket a számológépben hagyd pontosan. Ha a feladat előírja a kerekítést, és elmarad, a végeredmény pontja elveszik.
Példa éles feladatból (2024. október, II. rész 16. b), 3 pont). Egy receptben 5 uncia cukor szerepel, és 1 kg körülbelül 35,3 uncia. Hány gramm cukor ez, tíz grammra kerekítve? Egy uncia 1000 / 35,3 ≈ 28,3 g, tehát 5 uncia körülbelül 141,5 g (pontosabban számolva 141,6 g). Tíz grammra kerekítve 140 g. Az útmutató szerint az utolsó pont nem jár, ha a vizsgázó nem kerekít, vagy rosszul kerekít.
Osztó, többszörös, prímszám, összetett szám
Az a osztója b-nek, ha van olyan c egész szám, amelyre b = a · c. Jele: a | b, és így olvasd: „a osztója b-nek”. Ugyanez fordítva: b többszöröse a-nak. Például 6 | 24, mert 24 = 6 · 4, tehát a 24 a 6 többszöröse.
- Prímszám az a pozitív egész szám, amelynek pontosan két pozitív osztója van: az 1 és önmaga. Az 50-nél kisebb prímek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
- Összetett szám az az 1-nél nagyobb pozitív egész, amely nem prím, vagyis kettőnél több pozitív osztója van. Például 12, mert osztói 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Az 1 se nem prím, se nem összetett, mert csak egy pozitív osztója van.
- A 2 az egyetlen páros prím. Minden más páros számnak osztója a 2 is, tehát kettőnél több osztója van.
- A 0 minden pozitív egész számmal osztható, mert 0 = a · 0.
Prímtényezős felbontás
Minden 1-nél nagyobb pozitív egész felírható prímszámok szorzataként. Ez a prímtényezős felbontás. A tényezők sorrendjétől eltekintve mindegy, milyen úton bontod fel, ugyanazt kapod (ennek pontos kimondása, a számelmélet alaptétele, már emelt szint). Az egyformán ismétlődő prímeket hatványként írod: 1848 = 2³ · 3 · 7 · 11.
A felbontás menete a lépcsős osztás: a számot a lehető legkisebb prímmel osztod, a hányadost újra, egészen addig, amíg 1 nem marad. A vonal jobb oldalára az osztót, bal oldalára a hányadost írod.
1848 | 2
924 | 2
462 | 2
231 | 3 (2 + 3 + 1 = 6, osztható 3-mal)
77 | 7
11 | 11
1 |
1848 = 2³ · 3 · 7 · 11
Ez a 2023. októberi I. rész 1. feladata volt (2 pont): ott csak a felbontást kellett beírni. A felbontás akkor kész, ha minden tényező prím. Ha 77 marad a végén, az nem jó, mert 77 = 7 · 11.
Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prímek
Két szám legnagyobb közös osztója (lnko) a legnagyobb olyan szám, amely mindkettőnek osztója. A legkisebb közös többszörös (lkkt) a legkisebb olyan pozitív egész, amely mindkettőnek többszöröse. A 2024. októberi útmutató az lnko-t zárójellel jelöli: (72; 96) = 24. Ha bizonytalan vagy a jelölésben, írd ki a szót.
Mindkettőt a prímtényezős felbontásból számolod:
lnko: csak a KÖZÖS prímtényezők, mindegyik a KISEBBIK kitevőn
lkkt: MINDEN előforduló prímtényező, mindegyik a NAGYOBBIK kitevőn
Például 12 = 2² · 3 és 20 = 2² · 5. A közös prímtényező csak a 2, a kisebbik kitevő 2, tehát lnko(12; 20) = 2² = 4. Az lkkt-hez kell a 2², a 3 és az 5: lkkt(12; 20) = 2² · 3 · 5 = 60. Ez a 2025. májusi I. rész 2. feladata volt (2 pont).
Két hasznos összefüggés: az lnko nem nagyobb a kisebbik számnál, az lkkt nem kisebb a nagyobbiknál. Két számra az is igaz, hogy lnko · lkkt = a két szám szorzata: 4 · 60 = 240 = 12 · 20.
Két pozitív egész relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1, vagyis az 1-en kívül nincs közös osztójuk. A 8 és a 9 relatív prímek, pedig egyik sem prímszám: 8 = 2³ és 9 = 3², nincs közös prímtényezőjük. A 12 és a 18 nem relatív prímek, mert közös osztójuk például a 6.
Oszthatósági szabályok
Ezekkel a szabályokkal osztás nélkül, a számjegyekből látod, hogy egy szám osztható-e. A követelmény ezt a hét számot és a 10 hatványait kéri.
10-zel, 100-zal, 1000-rel: ha az utolsó 1, 2, 3 jegye 0
2-vel: ha az utolsó jegye páros (0, 2, 4, 6, 8)
5-tel: ha az utolsó jegye 0 vagy 5
4-gyel: ha az utolsó KÉT jegyéből álló szám osztható 4-gyel
8-cal: ha az utolsó HÁROM jegyéből álló szám osztható 8-cal
3-mal: ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal
9-cel: ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel
6-tal: ha 2-vel ÉS 3-mal is osztható
Próbáld ki a 2024-en. Az utolsó jegye 4, tehát osztható 2-vel. Az utolsó két jegye 24, ami osztható 4-gyel. Az utolsó három jegye 024 = 24, ami osztható 8-cal (24 = 8 · 3). A számjegyösszeg 2 + 0 + 2 + 4 = 8, ami nem osztható 3-mal, tehát a 2024 nem osztható se 3-mal, se 6-tal, se 9-cel.
A 6-os szabály mögötti elv. Ha egy szám osztható két relatív prím számmal, akkor a szorzatukkal is osztható. Ezért 2 és 3 helyett 6, 2 és 5 helyett 10, 3 és 4 helyett 12. Ha a két szám nem relatív prím, ez nem működik: a 12 osztható 2-vel és 4-gyel is, mégsem osztható 8-cal.
Számrendszerek és a helyiértékes írásmód
A helyiértékes írásmódban egy számjegy értéke attól függ, hol áll. A 10-es számrendszerben a helyiértékek a 10 hatványai:
2026 = 2 · 10³ + 0 · 10² + 2 · 10 + 6
Az n alapú számrendszerben a helyiértékek az n hatványai, és a számjegyek csak 0, 1, …, n - 1 lehetnek. A kettes számrendszerben tehát csak 0 és 1 van, az ötösben 0-tól 4-ig. Az alapot alsó indexben írod a szám után: 1011₂ a kettes számrendszerben felírt 1011.
Átírás n alapúból 10-es alapúba: minden számjegyet megszorzol a helyiértékével, és összeadod. Átírás 10-es alapúból n alapúba: a számot ismételten elosztod n-nel, és a maradékokat alulról felfelé olvasod össze. A követelmény középszinten n ≤ 9 alapú számrendszert kér; az n alapú számokkal való összeadás és kivonás már emelt szint.
4. Mintapélda 1 - legnagyobb közös osztó prímtényezőkkel (I. rész)
A feladat (2023. május, I. rész 5. feladat, 3 pont). Add meg a 420 és az 504 legnagyobb közös osztóját! A megoldást részletezni kell.
Felismerés. Legnagyobb közös osztó, és a feladat részletezést kér. Tehát mindkét számot fel kell bontani, és a felbontásokat le is kell írni.
Megoldás.
1. lépés: a 420 felbontása lépcsős osztással.
420 | 2
210 | 2
105 | 3
35 | 5
7 | 7
1 |
420 = 2² · 3 · 5 · 7
2. lépés: az 504 felbontása.
504 | 2
252 | 2
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |
504 = 2³ · 3² · 7
3. lépés: a közös prímtényezők, a kisebbik kitevőn.
2: kitevők 2 és 3, a kisebbik 2 -> 2²
3: kitevők 1 és 2, a kisebbik 1 -> 3
5: csak a 420-ban van, kimarad
7: mindkettőben 1-szer -> 7
lnko = 2² · 3 · 7 = 84
Tehát a 420 és az 504 legnagyobb közös osztója 84.
Amire pont jár. Egy-egy pont jár a 420 és az 504 helyes felbontásáért, és egy a 84-es eredményért.
Gyakorold. Add meg a 84 és a 90 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! 84 = 2² · 3 · 7 és 90 = 2 · 3² · 5. Az lnko a közös prímtényezőkből, a kisebbik kitevőn: 2 · 3 = 6. Az lkkt minden prímtényezőből, a nagyobbik kitevőn: 2² · 3² · 5 · 7 = 1260. (Az lkkt-t a 2025. májusi I. rész 2. feladata kérte, a 12-re és a 20-ra: ezt a 3. szakasz mutatja meg.)
5. Mintapélda 2 - az összes közös osztó (II. rész)
A feladat (2024. május, II. rész 13. b), 5 pont). Írd fel az 1896 és az 1956 prímtényezős felbontását, és add meg a két szám összes közös pozitív osztóját!
Felismerés. Itt nem csak a legnagyobb közös osztó kell, hanem mindegyik közös osztó. A kulcs: a két szám közös osztói pontosan a legnagyobb közös osztójuk osztói.
Megoldás.
1. lépés: az 1896 felbontása.
1896 : 2 = 948, 948 : 2 = 474, 474 : 2 = 237
237 : 3 = 79 (2 + 3 + 7 = 12, osztható 3-mal)
A 79 prím.
1896 = 2³ · 3 · 79
2. lépés: az 1956 felbontása.
1956 : 2 = 978, 978 : 2 = 489
489 : 3 = 163 (4 + 8 + 9 = 21, osztható 3-mal)
A 163 prím.
1956 = 2² · 3 · 163
3. lépés: a legnagyobb közös osztó.
Közös prímtényező a 2 (kisebbik kitevő 2) és a 3.
lnko = 2² · 3 = 12
4. lépés: a közös osztók a 12 osztói.
1, 2, 3, 4, 6, 12
Tehát az 1896 és az 1956 közös pozitív osztói: 1, 2, 3, 4, 6 és 12.
Honnan tudod, hogy a 79 és a 163 prím? Elég megnézni a kisebb prímeket addig, amíg a prím négyzete nem nagyobb a számnál. A 79-nél a 2, 3, 5, 7 jöhet szóba (11² = 121 már nagyobb), és egyik sem osztója. A 163-nál a 2, 3, 5, 7, 11 jöhet szóba (13² = 169 már nagyobb), és egyik sem osztója.
Amire pont jár. Egy-egy pont jár a két felbontásért, és 3 pont a közös osztók felsorolásáért. Az útmutató szerint egy hiba (kihagyott vagy hibás osztó) esetén 2 pont, két vagy három hiba esetén 1 pont, háromnál több hiba esetén 0 pont jár erre a részre. Az 1 és a 12 is közös osztó, ha kihagyod őket, az két hiba.
6. Mintapélda 3 - egyforma csomagok, szöveges feladat (II. rész)
A feladat (2024. október, II. rész 16. c), 4 pont). Emese 72 lekváros és 96 csokis linzerből egyforma összetételű csomagokat állít össze. Minden csomagba ugyanannyi lekváros és ugyanannyi csokis linzer kerül, és az összes süteményt felhasználja. Legfeljebb hány csomagot állíthat össze?
Felismerés. „Egyforma csomagok”, „az összeset felhasználja”, „legfeljebb hány”: ez szöveges legnagyobb közös osztó. A csomagok száma a 72-nek és a 96-nak is osztója, mert mindkét fajtát maradék nélkül szét kell osztani.
Megoldás.
1. lépés: a gondolat leírása (ezért külön pont jár).
A csomagok száma a 72-nek és a 96-nak is osztója,
és a lehető legtöbb csomag kell, tehát lnko(72; 96) a kérdés.
2. lépés: a 72 felbontása.
72 = 2³ · 3²
3. lépés: a 96 felbontása.
96 = 2⁵ · 3
4. lépés: lnko, a közös prímtényezők a kisebbik kitevőn.
lnko = 2³ · 3 = 24
Tehát Emese legfeljebb 24 csomagot állíthat össze. Ekkor minden csomagba 72 : 24 = 3 lekváros és 96 : 24 = 4 csokis linzer kerül.
Amire pont jár. Egy pont jár azért a gondolatért, hogy a csomagok száma mindkét számnak osztója, ezért a legnagyobb közös osztó kell. Ez a pont akkor is jár, ha a gondolat csak a megoldásból derül ki. Egy-egy pont jár a két felbontásért (vagy a 72 és a 96 osztóinak felsorolásáért), és egy a 24-es válaszért. Az útmutató megjegyzése szerint aki jól válaszol, de nem indokolja, miért nem lehet 24-nél több csomag, csak 2 pontot kap.
Másik út: az osztók felsorolása. A 72 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. A 96 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. A legnagyobb közös a 24. Ezt az utat is elfogadja az útmutató.
Ha a kérdés lkkt-re menne. Két villogó lámpa közül az egyik 18, a másik 30 másodpercenként villan. Egyszerre villantak. Legkorábban mikor villannak újra egyszerre? Az időpontnak a 18-nak és a 30-nak is többszörösének kell lennie, és a legkisebb kell. 18 = 2 · 3² és 30 = 2 · 3 · 5, tehát lkkt(18; 30) = 2 · 3² · 5 = 90. Legközelebb 90 másodperc múlva villannak újra egyszerre.
7. Mintapélda 4 - oszthatóság csupa azonos számjegyből (II. rész)
A feladat (2026. május, II. rész 14. d), 3 pont). Van-e olyan háromjegyű pozitív egész szám, amely csupa azonos számjegyből áll, és 2-vel, 3-mal és 5-tel is osztható? Ha van, adj meg egyet, ha nincs, bizonyítsd be, hogy nincs!
Felismerés. Három oszthatósági feltétel egyszerre. A legszigorúbbal kezdj: az 5-tel való oszthatóság az utolsó számjegyet szinte meghatározza.
Megoldás.
1. lépés: az 5-tel való oszthatóság.
5-tel osztható szám 0-ra vagy 5-re végződik.
Csupa azonos jegyből áll, tehát vagy 000, vagy 555.
2. lépés: a 000 kiesik.
A 000 nem háromjegyű pozitív egész szám.
3. lépés: az 555 vizsgálata 2-vel.
Az 555 páratlan számjegyre végződik, nem osztható 2-vel.
4. lépés: következtetés.
Egyetlen jelölt sem felel meg.
Tehát nincs ilyen szám.
Másik út. Ha egy szám 2-vel és 5-tel is osztható, akkor 10-zel is (mert a 2 és az 5 relatív prímek), tehát 0-ra végződik. Csupa azonos jegyből állva csak 000 lehetne, ez pedig nem háromjegyű pozitív egész.
Amire pont jár. Egy pont jár a „Nincs ilyen szám.” válaszért, és két pont az indoklás két lépéséért (5-tel osztható, tehát csak 5-re végződhet; az 555 viszont nem osztható 2-vel). Az útmutató megjegyzése szerint egy másik út is teljes pontot ér. Megvizsgálod mind a 9 azonos jegyű háromjegyű számot (111, 222, …, 999), és megállapítod, hogy egyikre sem teljesül mindhárom oszthatóság.
8. Mintapélda 5 - 4-gyel osztható számok számjegyekből (I. rész)
A feladat (2024. október, I. rész 8. feladat, 3 pont). Hány különböző, 4-gyel osztható négyjegyű szám készíthető a 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha minden számhoz mindegyik számjegyet egyszer használjuk fel? A megoldást részletezni kell.
Felismerés. Oszthatóság és kombinatorika együtt. A 4-gyel való oszthatóság az utolsó két jegyen múlik, ezért azokkal kezdünk.
Megoldás.
1. lépés: milyen kétjegyű végződés jöhet szóba?
Két különböző jegy a 2, 3, 4, 5 közül, és osztható 4-gyel.
Jó végződések: 24, 32, 52.
(A 44 nem jó, mert minden jegy csak egyszer szerepelhet.)
2. lépés: az első két hely.
A végződés két jegyet elhasznált, a maradék kettő
2-féle sorrendben kerülhet elöl.
3. lépés: szorzási szabály.
3 végződés · 2 sorrend = 6
Tehát 6 ilyen szám készíthető: 3524, 5324, 4532, 5432, 3452, 4352.
Amire pont jár. Egy pont jár azért, hogy a szám 24-re, 32-re vagy 52-re végződik, egy azért, hogy mindhárom esetben 2-féle szám képezhető, és egy a 2 · 3 = 6 eredményért. Az útmutató megjegyzésként a hat számot is felsorolja.
Gyakorold (2026. október, II. rész 14. a), 3 pont). Ott az 1001, az 1848 és a 2026 számot kellett beírni egy halmazábrába, ahol a halmazok a 2-vel, a 3-mal és a 4-gyel osztható számok. Ehhez minden számra mindhárom oszthatóságot el kell dönteni. Az 1848: utolsó jegye páros, utolsó két jegye 48 = 4 · 12, számjegyösszege 21, tehát 2-vel, 3-mal és 4-gyel is osztható. A 2026: páros, de 26 nem osztható 4-gyel, a számjegyösszeg 10 pedig 3-mal nem. Tehát csak 2-vel osztható. Az 1001: páratlan, számjegyösszege 2, tehát egyikkel sem osztható.
9. Mintapélda 6 - átírás számrendszerek között (a követelményből)
A 2022 és 2026 közötti tíz középszintű feladatsorban számrendszer-átírásra nem volt feladat. Ez a mintapélda ezért nem éles feladat, hanem a követelmény alapján készült: 10-es alapú számot kell átírni 2-es és 5-ös alapúra, és vissza.
A feladat. a) Írd fel a 75-öt kettes és ötös számrendszerben! b) Mennyi 10-es számrendszerben a 101101₂ és az 1203₅?
Felismerés. 10-esből más alapúba: ismételt osztás az alappal, a maradékokat alulról felfelé olvasod. Más alapúból 10-esbe: helyiértékek szerint szorzol és összeadsz.
Megoldás, a) rész.
1. lépés: 75 kettes számrendszerbe, osztás 2-vel.
75 : 2 = 37, maradék 1
37 : 2 = 18, maradék 1
18 : 2 = 9, maradék 0
9 : 2 = 4, maradék 1
4 : 2 = 2, maradék 0
2 : 2 = 1, maradék 0
1 : 2 = 0, maradék 1
A maradékok alulról felfelé: 1001011
75 = 1001011₂
2. lépés: ellenőrzés visszaírással.
1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 75
3. lépés: 75 ötös számrendszerbe, osztás 5-tel.
75 : 5 = 15, maradék 0
15 : 5 = 3, maradék 0
3 : 5 = 0, maradék 3
A maradékok alulról felfelé: 300
75 = 300₅ (ellenőrzés: 3 · 25 = 75)
Megoldás, b) rész.
1. lépés: 101101₂, a helyiértékek jobbról: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
= 32 + 8 + 4 + 1 = 45
2. lépés: 1203₅, a helyiértékek jobbról: 1, 5, 25, 125.
1 · 125 + 2 · 25 + 0 · 5 + 3 · 1
= 125 + 50 + 0 + 3 = 178
Tehát 75 = 1001011₂ = 300₅, továbbá 101101₂ = 45 és 1203₅ = 178.
Amire figyelj. Mivel erre nincs éles feladat, útmutatós pontbontás sincs hozzá. Az elv ugyanaz, mint máshol: írd le az osztások sorát vagy a helyiértékes összeget, ne csak a végeredményt. Az átírás után mindig érdemes visszaírni 10-esbe, ahogy a 2. lépésben.
10. Mintapélda 7 - abszolút érték és intervallum (I. rész)
A feladat (2026. május, I. rész 10. feladat, 2 pont). Add meg azt a két egész számot, amelyeknek a különbsége 6, az abszolút értékük pedig egyenlő!
Felismerés. Két szám abszolút értéke pontosan akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő, vagy egymás ellentettjei. Egyenlők nem lehetnek, mert akkor a különbségük 0 lenne, nem 6.
Megoldás.
1. lépés: a két szám egymás ellentettje.
Legyen az egyik a, a másik -a.
2. lépés: a különbség 6.
a - (-a) = 2a = 6, tehát a = 3.
3. lépés: ellenőrzés.
3 - (-3) = 6, és |3| = |-3| = 3.
Tehát a két szám a 3 és a -3.
Amire pont jár. Ez I. részes feladat, a 2 pont a helyes számpárért jár, a megoldást itt nem kellett részletezni.
Egy intervallumos feladat ugyanerre a tudásra. Írd fel intervallummal azokat a valós számokat, amelyek nagyobbak -2-nél, de legfeljebb 3! Sorold fel az egész elemeit!
1. lépés: a feltételek egyenlőtlenséggel.
-2 < x ≤ 3
2. lépés: a végpontok.
-2: „nagyobb” -> nincs benne -> nyílt, ]
3: „legfeljebb” -> benne van -> zárt, ]
3. lépés: az intervallum.
]-2; 3]
4. lépés: az egész elemek.
-1, 0, 1, 2, 3
Tehát a keresett halmaz a ]-2; 3] intervallum, egész elemei a -1, 0, 1, 2 és 3. A számegyenesen a -2-nél üres karika, a 3-nál teli karika van, és köztük a szakasz be van húzva.
11. Tipikus hibák
Itt a legtöbben elrontják: az 1-et prímnek veszik. Az 1-nek csak egy pozitív osztója van, ezért se nem prím, se nem összetett. A 2 viszont prím, a legkisebb és az egyetlen páros prím.
A felbontásban összetett szám marad. Az 1848 = 2³ · 3 · 77 nem kész felbontás, mert 77 = 7 · 11. A lépcsős osztást addig folytasd, amíg 1 nem marad, és a jobb oldalon csak prím álljon.
Összekeverik az lnko-t és az lkkt-t. Az lnko a közös prímtényezőkből, a kisebbik kitevőn épül, az lkkt minden prímtényezőből, a nagyobbik kitevőn. Ha a 420 és az 504 lnko-jára 2520 jön ki, az biztosan rossz, mert az lnko nem lehet nagyobb a kisebbik számnál (a 2520 az lkkt).
A közös osztók felsorolásából kimarad az 1 vagy maga az lnko. A Mintapélda 2-ben a közös osztók listája 1-gyel kezdődik és 12-vel végződik. Mindkettő kell, és az útmutató minden hiányzó osztót hibának számol.
Szöveges feladatban rossz eszközt választanak. „Legfeljebb hány egyforma csomag” vagy „legnagyobb darabok”: lnko, mert a szám a mennyiségek osztója. „Legközelebb mikor egyszerre”: lkkt, mert az idő a periódusok többszöröse. Ha a csomagos feladatban 288 jön ki (ez az lkkt), az több, mint ahány sütemény van, tehát rossz.
Rossz jegyeket néznek az oszthatósági szabálynál. A 4-gyel való oszthatóságnál az utolsó két jegy számít, nem az utolsó jegy: a 34 páros számra végződik, mégsem osztható 4-gyel. A 3-mal és 9-cel való oszthatóságnál a számjegyösszeg számít, nem az utolsó jegy.
Szorzatra nem relatív prím osztókból következtetnek. A „2-vel és 4-gyel osztható, tehát 8-cal is” hibás, ellenpélda a 12. Csak relatív prím osztókból lehet összerakni: 2 és 3 ad 6-ot, 2 és 5 ad 10-et.
Számrendszer-átírásnál fentről lefelé olvassák a maradékokat. A 75-nél a maradékok fentről lefelé 1101001, ez rossz. Alulról felfelé kell olvasni: 1001011. Az is hiba, ha olyan számjegy kerül a számba, ami az adott alapban nincs: ötös számrendszerben nem állhat 5-ös, 6-os számjegy.
Abszolút értéknél a -a-t mindig negatívnak hiszik. A |a| = -a sor csak negatív a-ra érvényes, és akkor -a pozitív: |-7| = -(-7) = 7. Az abszolút érték soha nem negatív.
Az intervallum végpontját rosszul zárják. A „nagyobb, mint” és a „kisebb, mint” nyílt végpontot ad, a „legalább” és a „legfeljebb” zártat. A ∞ mellett a zárójel mindig kifelé néz.
Nem kerekítenek, vagy túl korán kerekítenek. Ha a feladat tíz grammra kér választ, a 141,6 g nem teljes értékű válasz, a 140 g az. Ha a részeredményt már az elején durván kerekíted, a végeredmény elcsúszhat.
12. Ellenőrzés
1. Szorozd vissza a felbontást. 2³ · 3 · 7 · 11 = 8 · 3 · 7 · 11 = 1848. Ha a szorzat nem az eredeti szám, valahol elszámoltad. Nézd meg azt is, hogy minden tényező prím-e.
2. Az lnko osztója mindkét számnak, az lkkt többszöröse mindkettőnek. 420 : 84 = 5 és 504 : 84 = 6, tehát a 84 közös osztó. A szorzatpróbából az lkkt is kijön: 420 · 504 / 84 = 2520, és 2520 : 420 = 6, 2520 : 504 = 5, tehát a 2520 közös többszörös.
3. Szöveges feladatnál nézd meg, egész szám jön-e ki. 24 csomagnál 72 : 24 = 3 és 96 : 24 = 4 sütemény jut egy csomagba, mindkettő egész, tehát a szétosztás maradék nélküli. Ha a hányados tört lenne, a csomagszám rossz.
4. Számrendszer-átírás után írd vissza. 1001011₂ visszaírva 64 + 8 + 2 + 1 = 75. Ha a visszaírt szám nem az eredeti, a maradékok sorrendje vagy egy osztás hibás.
5. Helyettesíts vissza. A Mintapélda 7-ben 3 - (-3) = 6 és |3| = |-3|, tehát mindkét feltétel teljesül. Intervallumnál a végpontokat külön próbáld ki: a -2 kielégíti-e a feltételt, és a 3?
6. Becsüld meg a gépi eredményt. Mielőtt a gép eredményét leírod, nézd meg, nagyságrendre egyezik-e a becslésed. Ha 49 · 21-re 10 290 jönne ki, a becsült 1000 alapján rögtön látod, hogy elgépelted.
7. Írd ki a választ szövegesen. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „Tehát Emese legfeljebb 24 csomagot állíthat össze.”
13. Összefoglaló
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, és ℝ = ℚ ∪ ℚ*: a valós szám vagy racionális, vagy irracionális.
- Racionális szám az, amely felírható p / q alakban (p, q egész, q ≠ 0); tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos.
- Irracionális szám tizedestört alakja végtelen, nem szakaszos; például √2 és π. De √9 = 3 racionális.
- A kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás az összeadásra és a szorzásra érvényes; a kivonás és az osztás nem kommutatív.
- Az ellentett összegben 0-t, a reciprok szorzatban 1-et ad; a 0-nak nincs reciproka.
- Intervallumnál a befelé néző zárójel zárt, a kifelé néző nyílt végpontot jelent; a ∞ mellett mindig nyílt.
- |a| a szám távolsága a 0-tól: |a| = a, ha a ≥ 0, és |a| = -a, ha a < 0. Két szám abszolút értéke akkor egyenlő, ha egyenlők vagy ellentettek.
- Kerekítésnél a következő jegy dönt: 0-4 lefelé, 5-9 felfelé; kerekíteni a végén kell.
- Prímszámnak pontosan két pozitív osztója van. Az 1 se nem prím, se nem összetett, a 2 az egyetlen páros prím.
- A prímtényezős felbontás lépcsős osztással készül, és csak prímtényezők maradhatnak benne.
- lnko: közös prímtényezők a kisebbik kitevőn; lkkt: minden prímtényező a nagyobbik kitevőn. Két szám relatív prím, ha lnko = 1.
- Két szám összes közös osztója a legnagyobb közös osztójuk osztói.
- Szöveges feladatban az egyforma csomag lnko-t, az újra egyszerre lkkt-t jelent.
- 4-gyel az utolsó két jegy, 8-cal az utolsó három jegy, 3-mal és 9-cel a számjegyösszeg dönt; 6-tal a 2-vel és 3-mal való oszthatóság együtt.
- 10-esből n alapúba ismételt osztással, a maradékokat alulról felfelé olvasva; vissza a helyiértékek szerint.
14. Kulcsfogalmak
- Természetes számok (ℕ) - a 0, 1, 2, 3, … számok halmaza.
- Egész számok (ℤ) - a természetes számok és ellentettjeik halmaza.
- Racionális szám (ℚ) - két egész szám hányadosaként felírható szám, ahol a nevező nem 0.
- Irracionális szám (ℚ)* - olyan valós szám, amely nem írható fel két egész szám hányadosaként; tizedestört alakja végtelen, nem szakaszos.
- Valós számok (ℝ) - a racionális és az irracionális számok együtt; ezek töltik ki a számegyenest.
- Ellentett és reciprok - a ellentettje -a (összegük 0), a ≠ 0 reciproka 1/a (szorzatuk 1).
- Zárt és nyílt intervallum - [a; b] tartalmazza a végpontokat, ]a; b[ nem tartalmazza.
- Abszolút érték - a szám távolsága a 0-tól a számegyenesen; |a| = a, ha a ≥ 0, és |a| = -a, ha a < 0.
- Osztó és többszörös - a | b, ha van olyan c egész, hogy b = a · c; ekkor b többszöröse a-nak.
- Prímszám - olyan pozitív egész, amelynek pontosan két pozitív osztója van.
- Összetett szám - 1-nél nagyobb pozitív egész, amelynek kettőnél több pozitív osztója van.
- Prímtényezős felbontás - a szám felírása prímszámok szorzataként, például 1848 = 2³ · 3 · 7 · 11.
- Legnagyobb közös osztó (lnko) - a legnagyobb szám, amely mindkét számnak osztója.
- Legkisebb közös többszörös (lkkt) - a legkisebb pozitív egész, amely mindkét számnak többszöröse.
- Relatív prímek - két pozitív egész, amelyek legnagyobb közös osztója 1, például 8 és 9.
- Helyiértékes írásmód - a számjegy értéke a helyétől függ; n alapú számrendszerben a helyiértékek az n hatványai.
- Ne keverd össze: lnko és lkkt - az lnko a kisebbik kitevőkkel, az lkkt a nagyobbikkal épül; az lnko nem nagyobb a kisebbik számnál, az lkkt nem kisebb a nagyobbiknál.
- Ne keverd össze: prím és relatív prím - a prím egy szám tulajdonsága, a relatív prím két szám kapcsolata; a 8 és a 9 relatív prímek, de egyik sem prím.
15. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok
1. Mi a különbség a racionális és az irracionális szám között?
Racionális szám az, amely felírható két egész szám hányadosaként, ahol a nevező nem 0, például 3/8 vagy -5. Tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos: 3/8 = 0,375, 2/3 = 0,666…. Irracionális szám az a valós szám, amely nem írható fel így; tizedestört alakja végtelen és nem szakaszos, például √2 vagy π. A racionális és az irracionális számok együtt adják a valós számok halmazát.
2. Hogyan számolod ki két szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét?
Mindkét számot prímtényezőkre bontom. A legnagyobb közös osztóhoz a közös prímtényezőket veszem, mindegyiket a kisebbik kitevőn. A legkisebb közös többszöröshöz minden előforduló prímtényezőt, a nagyobbik kitevőn. Például 24 = 2³ · 3 és 36 = 2² · 3², ezért lnko = 2² · 3 = 12 és lkkt = 2³ · 3² = 72. Ellenőrzésképpen 12 · 72 = 864 = 24 · 36.
3. Mit jelent, hogy két szám relatív prím? Mondj példát!
Két pozitív egész szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1, vagyis az 1-en kívül nincs közös osztójuk. Például a 8 és a 9 relatív prímek, mert 8 = 2³ és 9 = 3², nincs közös prímtényezőjük. Egyik sem prímszám, a relatív prím tehát két szám kapcsolata, nem egy szám tulajdonsága. A 12 és a 18 nem relatív prímek, mert közös osztójuk a 6.
4. Egy virágárus 84 tulipánból és 126 nárciszból egyforma csokrokat köt, és mindet felhasználja. Legfeljebb hány csokor lehet?
A csokrok száma a 84-nek és a 126-nak is osztója, és a lehető legtöbb kell, tehát a legnagyobb közös osztót keressük. 84 = 2² · 3 · 7 és 126 = 2 · 3² · 7. A közös prímtényezők a kisebbik kitevőn: 2 · 3 · 7 = 42. Tehát legfeljebb 42 csokor lehet, mindegyikben 2 tulipán és 3 nárcisz. Ugyanez a gondolat volt a 2024. októberi II. rész 16. c) feladatában (Mintapélda 3).
5. Sorold fel a 4-gyel, a 3-mal és a 6-tal való oszthatóság szabályát!
Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két jegyéből álló szám osztható 4-gyel. Akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Akkor osztható 6-tal, ha 2-vel és 3-mal is osztható. Ez azért működik, mert a 2 és a 3 relatív prímek. Például a 2024 utolsó két jegye 24, tehát osztható 4-gyel, de számjegyösszege 8, tehát 3-mal és 6-tal nem osztható.
6. Van-e olyan háromjegyű, csupa azonos jegyből álló szám, amely 3-mal és 4-gyel is osztható?
Van, például a 444. Egy csupa azonos jegyből álló háromjegyű szám számjegyösszege a jegy háromszorosa, tehát mindig osztható 3-mal. A 4-gyel való oszthatóság az utolsó két jegyen múlik: a 11, 22, …, 99 közül csak a 44 és a 88 osztható 4-gyel. A jó számok tehát a 444 és a 888. (A 2026. májusi II. rész 14. d) feladatában a 2, 3, 5 feltételre nem volt ilyen szám: Mintapélda 4.)
7. Hogyan írod át a 46-ot kettes számrendszerbe, és hogyan ellenőrzöd?
A 46-ot ismételten elosztom 2-vel, és felírom a maradékokat: 0, 1, 1, 1, 0, 1. A maradékokat alulról felfelé olvasom össze, így 46 = 101110₂. Ellenőrzésként visszaírom 10-es alapra a helyiértékek szerint: 32 + 8 + 4 + 2 = 46. Kettes számrendszerben csak 0 és 1 számjegy szerepelhet.
8. Mi az abszolút érték definíciója? Mely egész számok abszolút értéke kisebb 3-nál?
Egy szám abszolút értéke a szám távolsága a 0-tól: |a| = a, ha a ≥ 0, és |a| = -a, ha a < 0. Ezért az abszolút érték soha nem negatív. A |x| < 3 azt jelenti, hogy x 3 egységnél közelebb van a 0-hoz, vagyis -3 < x < 3, ez a ]-3; 3[ intervallum. Egész elemei: -2, -1, 0, 1, 2. A -3 és a 3 nincs köztük, mert az abszolút értékük éppen 3.