Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek

Tételszám: #7 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel arról szól, hogyan oldasz meg egy olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a második hatványon is szerepel, például x² - 5x + 6 = 0. A fő eszközöd a megoldóképlet, mellette a diszkrimináns, a teljes négyzetté alakítás és a gyöktényezős alak. Ide tartozik az egyszerű másodfokú egyenlőtlenség is, például x² - 6x + 8 ≤ 0.

Az írásbelin a másodfokú egyenlet kétféleképpen jön elő. Önálló feladatként: a 2025. októberi I. rész 1. feladata 2 pontért, a 2026. májusi II. rész 13. a) feladata 5 pontért egy-egy másodfokú egyenlet volt. Sokszor pedig egy szöveges vagy geometriai feladat közepén bukkan fel, ahol a téglalap oldalát vagy a sokszög oldalszámát egy másodfokú egyenletből kapod meg. Az itt feldolgozott éles feladatrészek 2 és 6 pont közöttiek.

A tétel a 6. tételre (elsőfokú egyenletek) és az 5. tételre (nevezetes azonosságok, teljes négyzetté kiegészítés) épül. A négyzetgyökös és a másodfokúra visszavezethető egyenlet a 8. tétel, a másodfokú függvény ábrázolása a 12. tétel. Itt a függvényből csak annyi kell, amennyi az egyenlőtlenséghez.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

A másodfokú egyenletet arról ismered fel, hogy rendezés után x² is marad benne. Ez sokszor csak a zárójelek felbontása után derül ki, ezért előbb bonts, aztán dönts.

Árulkodó jelek a feladat szövegében

• x² vagy egy zárójel négyzete áll az egyenletben, például (x + 3)² + 2(x + 3) = 80. A négyzetet kifejted, és nullára rendezel.
• „Mely számokhoz rendeli az f függvény a 6-ot?”, és f(x) = (x - 3)² + 2. Ez az f(x) = 6 egyenlet, ami másodfokú.
• „Adja meg a függvény zérushelyeit!”, ha a hozzárendelési szabályban x² van. A zérushely ott van, ahol f(x) = 0, tehát egy másodfokú egyenletet oldasz meg.
• Ismert a terület, és a két oldal közötti kapcsolat. „Az egyik oldal 48 cm-rel hosszabb a másiknál, a terület 2025 cm².” Két ismeretlen oldal szorzata ad egy számot: ebből x(x + 48) = 2025 lesz.
• Egy képletben n és n² is van, és n-et keresed. Ilyen a sokszög átlóinak száma, n(n - 3) / 2, vagy egy számtani sorozat első n tagjának összege. Ilyenkor n pozitív egész, ezt a végén figyelembe veszed.
• x² mellett a <, >, ≤ vagy ≥ jel. Ez másodfokú egyenlőtlenség. Ha a feladat az egész megoldásokat kéri, a végén az intervallumból választod ki az egészeket.

A számológép itt sokat segít. A 2022 és 2026 közötti feladatlapok tudnivalói szerint a „nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározása” géppel, indoklás nélkül is elfogadott lépés. A nullára rendezett alakot viszont le kell írnod, mert azért külön pont jár.

3. Fogalmak és képletek

Ebben a szakaszban a megoldási módszereket ismered meg. A mintapéldák ezekre épülnek.

Az általános alak

Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja:

ax² + bx + c = 0,    ahol a ≠ 0

Az a az x² együtthatója, a b az x együtthatója, a c a konstans tag (az a szám, amely mellett nincs x). Az a ≠ 0 feltétel azért kell, mert a = 0 esetén nem marad x², és elsőfokú egyenletet kapsz.

Az együtthatókat előjellel együtt olvasod le. Az x² - 5x + 6 = 0 egyenletben a = 1, b = -5, c = 6. A 2x² - 3x - 2 = 0 egyenletben a = 2, b = -3, c = -2.

A megoldóképlet és a gép előtt az első lépés mindig a nullára rendezés: minden tagot az egyik oldalra viszel, hogy a másik oldalon 0 álljon. A megoldóképlet és a számológép is csak a nullára rendezett alakkal működik. Az x² = 3x - 2 egyenletből így x² - 3x + 2 = 0 lesz.

Hiányos másodfokú egyenletek

Ha b = 0 vagy c = 0, az egyenletet hiányosnak mondjuk, és megoldóképlet nélkül, gyorsabban is megoldhatod.

Ha c = 0, kiemelsz. Az x² + 4x = 0 egyenletből x(x + 4) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ezért x = 0 vagy x + 4 = 0, vagyis x = 0 vagy x = -4.

Ha b = 0, gyököt vonsz. A 3x² - 12 = 0 egyenletből 3x² = 12, x² = 4. Ennek két megoldása van: x = 2 és x = -2, mert (-2)² is 4. A negatív gyököt nagyon könnyű elfelejteni.

Ha x² egy negatív számmal egyenlő (például x² = -9), nincs valós megoldás, mert egy valós szám négyzete nem lehet negatív.

Gyakori hiba: az x² = 3x egyenletet elosztják x-szel, és csak az x = 3 marad. Az osztással elveszik az x = 0 megoldás. Helyesen: x² - 3x = 0, kiemelve x(x - 3) = 0, tehát x = 0 vagy x = 3.

A megoldóképlet és a diszkrimináns

Az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldásait a megoldóképlet adja:

x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

A gyökjel alatti kifejezés a diszkrimináns, jele D:

D = b² - 4ac

A ± azt jelenti, hogy egyszer összeadsz, egyszer kivonsz, így kapod a két gyököt. A tört vonala az egész számláló alatt húzódik: a -b-t és a gyököt is 2a-val osztod.

Példa: 2x² - 3x - 2 = 0. Itt a = 2, b = -3, c = -2.

D = (-3)² - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25,   √25 = 5
x₁ = (3 + 5) / 4 = 2
x₂ = (3 - 5) / 4 = -0,5

Figyelj a -b-re: mivel b = -3, a -b = 3. Negatív b esetén a képlet elején pozitív szám áll.

A diszkrimináns előjele és a megoldások száma

A diszkrimináns előjeléből a megoldás előtt látod, hány valós megoldás lesz:

• D > 0: két különböző valós megoldás. Például x² - 5x + 6 = 0: D = 25 - 24 = 1, a gyökök 2 és 3.
• D = 0: egy valós megoldás (ezt kettős gyöknek is hívják). Például x² - 4x + 4 = 0: D = 16 - 16 = 0, és x = 2. Itt a bal oldal teljes négyzet: (x - 2)².
• D < 0: nincs valós megoldás, mert negatív számból nem vonhatsz négyzetgyököt. Például x² + 2x + 5 = 0: D = 4 - 20 = -16.

Ha D < 0, a válasz az, hogy az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. Ezt egész mondatban írd le, ne hagyd üresen.

Teljes négyzetté alakítás

A teljes négyzetté alakítást az 5. tétel tanítja (ott teljes négyzetté kiegészítés néven is): az x együtthatójának fele kerül a zárójelbe, és a fölöslegesen keletkező számot levonod. Egyenletnél ez a módszer megoldóképlet nélkül vezet célhoz, mert a négyzetből gyököt vonhatsz.

x² + 6x - 7 = 0         6 fele 3, és (x + 3)² = x² + 6x + 9
(x + 3)² - 9 - 7 = 0    a 9-et levonjuk, hogy az egyenlőség megmaradjon
(x + 3)² = 16           rendezés
x + 3 = 4  vagy  x + 3 = -4     a 16-nak két négyzetgyöke van
x = 1      vagy  x = -7

Ha az egyenlet eleve négyzetes alakban van, például (x - 3)² + 2 = 6, akkor ez a leggyorsabb út: (x - 3)² = 4, tehát x - 3 = 2 vagy x - 3 = -2. A 3. mintapélda ezt mutatja.

A gyöktényezős alak

Ha az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei x₁ és x₂, akkor a bal oldal szorzattá alakítható:

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Ez a gyöktényezős alak. Az (x - x₁) és az (x - x₂) a két gyöktényező. Figyelj az előjelre: a -2 gyökhöz az (x + 2) tényező tartozik, mert x - (-2) = x + 2. Az a szorzót se hagyd el.

Három dologra használod:

1. Szorzattá alakítás. A 2x² - 2x - 12 gyökei 3 és -2, ezért 2x² - 2x - 12 = 2(x - 3)(x + 2). Visszaszorzással ellenőrizheted.
2. Egyenlet felírása adott gyökökből. Ha a gyökök 2 és -3, egy ilyen egyenlet: (x - 2)(x + 3) = 0, kifejtve x² + x - 6 = 0.
3. Tört egyszerűsítése. Az (x² - 5x + 6) / (x - 2) törtben a számláló (x - 2)(x - 3), ezért x ≠ 2 esetén a tört értéke x - 3.

Fordítva is igaz: ha az egyenlet eleve szorzat alakú, például (x - 2)(x + 3) = 0, nem kell kifejteni. A szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, tehát x = 2 vagy x = -3.

Gépi megoldás: mit kell leírnod

A számológépek egy része a nullára rendezett másodfokú egyenletet közvetlenül megoldja: beírod az a, b, c együtthatót, és megkapod a gyököket. Ez elfogadott lépés, de csak a nullára rendezett egyenletre. A dolgozatban ezért ezt a sorrendet írd le:

1. az eredeti egyenlet (szöveges feladatnál az, amit a szövegből felírtál)
2. a zárójelek felbontása, összevonás
3. a nullára rendezett alak, például x² + 8x - 65 = 0
4. a két gyök: x₁ = 5, x₂ = -13
5. ellenőrzés

A 2026. májusi, a 2025. májusi és a 2024. májusi útmutató is külön pontot ad a nullára rendezett alakért, és külön a gyökökért. Aki csak a gyököket írja le, a nullára rendezés pontját kockáztatja. Ha a gépeden nincs ilyen funkció, a megoldóképletet használod: az ugyanúgy teljes értékű.

Másodfokú egyenlőtlenség

A másodfokú egyenlőtlenséget a hozzá tartozó egyenlet gyökei és a parabola alakja alapján oldod meg. Az x ↦ ax² + bx + c függvény grafikonja parabola: ha a > 0, felfelé nyíló, ha a < 0, lefelé nyíló.

A menet:

1. Rendezd nullára: ax² + bx + c ≤ 0 (vagy <, >, ≥).
2. Oldd meg az ax² + bx + c = 0 egyenletet: ezek a parabola és az x tengely
   közös pontjai.
3. Gondold végig a parabola alakját:
   a > 0 esetén a két gyök KÖZÖTT negatív, a gyökökön KÍVÜL pozitív.
   a < 0 esetén fordítva.
4. Válaszd ki a kért részt, és figyelj a végpontokra (≤, ≥: benne vannak).

Példa: x² - 6x + 8 ≤ 0. A gyökök 2 és 4, és a = 1 > 0, tehát a parabola felfelé nyílik. A két gyök között az x tengely alatt van, ezért a kifejezés ott negatív. A megoldás: 2 ≤ x ≤ 4, vagyis a [2; 4] intervallum. A végpontok benne vannak, mert a reláció ≤.

Ugyanennél a kifejezésnél az x² - 6x + 8 > 0 megoldása a gyökökön kívüli rész: x < 2 vagy x > 4, azaz ]-∞; 2[ ∪ ]4; ∞[. Lefelé nyíló parabolánál fordított a helyzet: a -x² + x + 6 ≥ 0 gyökei -2 és 3, és itt a két gyök között pozitív a kifejezés, így a megoldás [-2; 3].

Ha az egyenletnek nincs valós gyöke, a parabola nem metszi az x tengelyt. Az x² + 1 > 0 például minden valós számra igaz, mert x² + 1 legalább 1. Az egyenlőtlenség-rendszer és a törtes egyenlőtlenség megoldása a követelmény szerint emelt szintű.

Szöveges feladat másodfokú egyenlettel

A szöveges feladatnál a másodfokú egyenletnek gyakran két gyöke van, de csak az egyik illik a szöveghez. Egy oldalhossz, egy darabszám vagy egy oldalszám nem lehet negatív. A követelmény kifejezetten kéri, hogy a változók lehetséges értékeit meghatározd, és az eredményt a szöveggel összevesd.

A váz ugyanaz, mint az elsőfokú szöveges feladatnál:

1. Jelöld az ismeretlent, mértékegységgel, és írd mellé, milyen értéket vehet fel (pozitív, egész, 3-nál nagyobb).
2. Írd fel az egyenletet a szöveg alapján.
3. Rendezd nullára és oldd meg.
4. Zárd ki a szövegnek nem megfelelő gyököt, és írd le, miért.
5. Válaszolj egész mondatban, mértékegységgel.

A kizárt gyököt ne hallgasd el: a 2025. májusi útmutató például külön pontot ad azért, hogy leírod, a negatív gyök nem megoldása a feladatnak. Ahol viszont a negatív szám is megengedett (például „két egész szám”), ott mindkét gyökből válasz lesz.

4. Mintapélda 1 - nullára rendezett egyenlet (I. rész)

A feladat (2025. október, I. rész 1. feladat, 2 pont). Oldd meg a valós számok halmazán: x² - 5x + 6 = 0.

Felismerés. Az egyenlet már nullára rendezett, az együtthatók a = 1, b = -5, c = 6. Mehet a megoldóképlet vagy a gép.

Megoldás.

1. lépés: a diszkrimináns, hogy lássuk, hány megoldás van.
   D = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 > 0, tehát két megoldás lesz.

2. lépés: a megoldóképlet (-b = 5, mert b = -5).
   x₁,₂ = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

3. lépés: a két gyök.
   x₁ = 6 / 2 = 3,   x₂ = 4 / 2 = 2

Ellenőrzés gyöktényezős alakkal. Ha a gyökök 2 és 3, akkor (x - 2)(x - 3) = x² - 3x - 2x + 6 = x² - 5x + 6. Ez éppen a bal oldal.

Tehát az egyenlet megoldásai x = 2 és x = 3.

Amire pont jár. Az útmutató az „x = 2 vagy x = 3” válaszért adja a 2 pontot, részpontot nem sorol fel. Az I. részben a keretbe a végeredmény kerül. Mindkét gyököt meg kell adni.

5. Mintapélda 2 - zárójel négyzete az egyenletben (II. rész)

A feladat (2026. május, II. rész 13. a) feladat, 5 pont). Oldd meg a valós számok halmazán: (x + 3)² + 2(x + 3) = 80.

Felismerés. Egy zárójel négyzete áll benne, tehát kifejtés után x² marad: ez másodfokú egyenlet. Az (x + 3)²-et az összeg négyzetének azonosságával bontod ki (5. tétel).

Megoldás.

1. lépés: a négyzetre emelés és a zárójelbontás.
   (x + 3)² = x² + 6x + 9,  2(x + 3) = 2x + 6
   x² + 6x + 9 + 2x + 6 = 80

2. lépés: összevonás és nullára rendezés (80-at kivonunk mindkét oldalból).
   x² + 8x - 65 = 0

3. lépés: megoldóképlettel (a = 1, b = 8, c = -65), vagy géppel.
   D = 8² - 4 · 1 · (-65) = 64 + 260 = 324,  √324 = 18
   x₁ = (-8 + 18) / 2 = 5
   x₂ = (-8 - 18) / 2 = -13

Ellenőrzés. x = 5 esetén 8² + 2 · 8 = 64 + 16 = 80. x = -13 esetén (-10)² + 2 · (-10) = 100 - 20 = 80. Mindkettő jó.

Tehát az egyenlet megoldásai x = 5 és x = -13.

Amire pont jár. Egy pont jár a négyzetre emelésért, egy a nullára rendezett x² + 8x - 65 = 0 alakért, kettő a két gyökért, és egy az ellenőrzésért. Az ellenőrzés pontja behelyettesítésért vagy az ekvivalens átalakításokra való hivatkozásért is jár.

Az útmutató egy második utat is elfogad. Ha a = x + 3 az új ismeretlen, az egyenlet a² + 2a - 80 = 0 lesz. Ennek gyökei a = 8 és a = -10, és x = a - 3-ból x = 5 vagy x = -13. Az új ismeretlen bevezetését a 8. tétel gyakoroltatja.

6. Mintapélda 3 - melyik számhoz rendeli a függvény a 6-ot? (II. rész)

A feladat (2023. október, II. rész 13. b) feladat, 4 pont). Az f függvény a valós számok halmazán értelmezett, f(x) = (x - 3)² + 2. Mely számokhoz rendeli az f függvény a 6-ot?

Felismerés. A kérdés az, hogy hol lesz f(x) = 6. Ez egy egyenlet, amelynek bal oldala már teljes négyzetes alakban van. Itt a gyökvonás gyorsabb, mint a megoldóképlet.

Megoldás.

1. lépés: felírjuk az egyenletet.
   (x - 3)² + 2 = 6

2. lépés: kivonunk 2-t, hogy a négyzet egyedül maradjon.
   (x - 3)² = 4

3. lépés: egy szám négyzete akkor 4, ha a szám 2 vagy -2.
   x - 3 = 2   vagy   x - 3 = -2

4. lépés: mindkét esetben hozzáadunk 3-at.
   x = 5   vagy   x = 1

Ellenőrzés. f(5) = 2² + 2 = 6, és f(1) = (-2)² + 2 = 6.

Tehát az f függvény az 1-hez és az 5-höz rendeli a 6-ot.

Amire pont jár. Ennél az útnál egy pont jár az (x - 3)² = 4 alakért, kettő az x - 3 = 2 vagy x - 3 = -2 esetekért, és egy az x = 5 vagy x = 1 eredményért. Ez az utolsó pont csak akkor jár, ha mindkét választ megadod. Az útmutató első megoldása kifejt és nullára rendez: (x - 3)² + 2 = 6, majd x² - 6x + 5 = 0, és a két gyökért 2 pont jár. Grafikus megoldásra is van pont: 2 a grafikon helyes felrajzolásáért, 1 a két érték leolvasásáért, 1 a leolvasott értékek ellenőrzéséért.

7. Mintapélda 4 - egyenlőtlenség egész megoldásai (II. rész)

A feladat (2023. október, II. rész 13. d) feladat, 4 pont). Oldd meg az x² - 6x + 11 ≤ 3 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

Felismerés. x² és ≤ jel: másodfokú egyenlőtlenség. Az alaphalmaz az egész számok halmaza, tehát a végén egészeket sorolsz fel, nem intervallumot adsz meg.

Megoldás.

1. lépés: nullára rendezés (3-at kivonunk mindkét oldalból).
   x² - 6x + 8 ≤ 0

2. lépés: a hozzá tartozó egyenlet gyökei.
   x² - 6x + 8 = 0
   D = 36 - 32 = 4,  x₁,₂ = (6 ± 2) / 2,  tehát x₁ = 4, x₂ = 2

3. lépés: a parabola alakja. Az x² együtthatója 1 > 0, a parabola felfelé
   nyílik, ezért a két gyök között negatív a bal oldal értéke.
   A valós számok halmazán a megoldás: 2 ≤ x ≤ 4.

4. lépés: ebből az egészek.
   x = 2, 3, 4

Ellenőrzés. x = 3-ra 9 - 18 + 11 = 2 ≤ 3, igaz. A végpont x = 2-re 4 - 12 + 11 = 3 ≤ 3, igaz. Az x = 5 már nem jó: 25 - 30 + 11 = 6, és 6 > 3.

Tehát az egyenlőtlenség egész megoldásai a 2, a 3 és a 4.

Amire pont jár. Egy-egy pont jár a nullára rendezésért, a 2 és 4 gyökért, a „két gyök között negatív” gondolatért és az egész megoldások felsorolásáért. A harmadik pont akkor is jár, ha a gondolat csak a megoldásból derül ki. Az útmutató megjegyzései szerint aki a valós számok halmazán oldja meg, és megáll a [2; 4] intervallumnál, legfeljebb 3 pontot kaphat. Aki próbálgatással helyesen felsorolja a megoldásokat, 2 pontot kap, és további 2 pont jár annak indoklásáért, hogy más megoldás nincs.

Teljes négyzetté alakítással is megy: x² - 6x + 8 = (x - 3)² - 1, tehát (x - 3)² ≤ 1. Ez akkor igaz, ha -1 ≤ x - 3 ≤ 1, vagyis 2 ≤ x ≤ 4. Az útmutató ezt az utat is elfogadja.

8. Mintapélda 5 - téglalap oldalai a területből (II. rész)

A feladat (2025. május, II. rész 13. b) feladat, 6 pont). Egy téglalap egyik oldala 48 cm-rel hosszabb, mint a másik oldala. A téglalap területe 2025 cm². Számítsd ki a téglalap kerületét!

Felismerés. Két ismeretlen oldal van, de a kapcsolatuk ismert, tehát egy ismeretlennel felírható. A terület a két oldal szorzata, ebből másodfokú egyenlet lesz. Az oldalhossz pozitív, ezt a végén felhasználod.

Megoldás.

1. lépés: jelölés. A rövidebb oldal a cm (a > 0), a hosszabb a + 48 cm.
   A terület alapján:  a(a + 48) = 2025

2. lépés: zárójelbontás és nullára rendezés.
   a² + 48a - 2025 = 0

3. lépés: megoldóképlettel (vagy géppel).
   D = 48² + 4 · 2025 = 2304 + 8100 = 10 404,  √10 404 = 102
   a₁ = (-48 + 102) / 2 = 27
   a₂ = (-48 - 102) / 2 = -75

4. lépés: a negatív gyök kizárása. Az a = -75 nem lehet oldalhossz,
   ezért nem megoldása a feladatnak.

5. lépés: a két oldal és a kerület.
   a = 27 cm,  a + 48 = 75 cm
   K = 2 · 27 + 2 · 75 = 204 cm

Ellenőrzés a szöveg alapján. 75 - 27 = 48, tehát valóban 48 cm-rel hosszabb. A terület 27 · 75 = 2025 cm², ez is stimmel.

Tehát a téglalap kerülete 204 cm.

Amire pont jár. Hat darab 1 pontos lépés van. Pont jár a jelölésért az a(a + 48) = 2025 egyenlettel, a nullára rendezett alakért és az a₁ = 27-ért. Külön pont jár azért, hogy leírod: az a₂ = -75 nem megoldása a feladatnak. Az utolsó két pont a két oldalé (27 cm és 75 cm) és a 204 cm-es kerületé. Ha a hosszabb oldalt jelölöd b-vel, akkor b(b - 48) = 2025, a gyökök 75 és -27: ez ugyanúgy teljes értékű.

Gyakorold (2022. május, II. rész 15. c) feladat, 6 pont). Egy téglalap alakú telek szomszédos oldalainak aránya 3 : 4, területe 1,47 hektár (1 hektár = 10 000 m²). Mekkora a kerülete? Az oldalak 3a és 4a méter, a terület 14 700 m², tehát 12a² = 14 700, a² = 1225. Ez hiányos másodfokú egyenlet; a negatív gyök (-35) hosszként nem jöhet szóba, így a = 35, és a kerület 490 m. A teljes kidolgozás a pontozással a 16. tételben van.

9. Mintapélda 6 - hány oldalú a sokszög? (II. rész)

A feladat (2024. május, II. rész 14. c) feladat, 5 pont). Egy szabályos sokszög átlóinak száma 2015. Hány oldalú a sokszög?

Felismerés. Az n oldalú sokszög átlóinak száma n(n - 3) / 2. Minden csúcsból n - 3 átló indul (önmagába és a két szomszédjába nem), és így minden átlót kétszer számolnál, ezért osztasz 2-vel. Az ismeretlen n, és n² is előfordul: másodfokú egyenlet. Az n egész, és legalább 3.

Megoldás.

1. lépés: az egyenlet a képletből.
   n(n - 3) / 2 = 2015

2. lépés: szorzás 2-vel, zárójelbontás, nullára rendezés.
   n² - 3n = 4030
   n² - 3n - 4030 = 0

3. lépés: megoldóképlettel (a = 1, b = -3, c = -4030), vagy géppel.
   D = 9 + 4 · 4030 = 16 129,  √16 129 = 127
   n₁ = (3 + 127) / 2 = 65
   n₂ = (3 - 127) / 2 = -62

4. lépés: az oldalszám pozitív egész, ezért a -62 nem megoldás.

Ellenőrzés. 65 · 62 / 2 = 2015. Valóban ennyi átlója van.

Tehát a sokszög 65 oldalú.

Amire pont jár. Egy pont jár az átlók számának képletéért és az n(n - 3) / 2 = 2015 egyenletért, egy a nullára rendezett n² - 3n - 4030 = 0 alakért. Kettő jár a 65 és -62 gyökért. Az utolsó pont a válaszé: a sokszög 65 oldalú, és ez megfelel a feltételeknek.

10. Tipikus hibák

Itt a legtöbben elrontják: nem rendeznek nullára. Az x² + 8x = 65 egyenletbe c = 65-öt írnak a képletbe. A megoldóképlet és a gép is csak az ax² + bx + c = 0 alakra jó, tehát előbb c = -65 legyen.

A -b-nél előjelet tévesztenek. Az x² - 5x + 6 = 0 egyenletben b = -5, ezért -b = 5. Aki -5-tel kezd, a gyökök ellentettjét kapja: -2 és -3.

Csak a gyököt osztják 2a-val. A képletben az egész számláló, a -b ± √D, kerül 2a fölé. Az x₁ = -8 + 18 / 2 = 1 rossz; helyesen (-8 + 18) / 2 = 5.

A négyzetet rosszul bontják ki. (x + 3)² = x² + 6x + 9, nem x² + 9. A kétszeres szorzat (6x) kimarad, és onnantól az egész egyenlet rossz.

Elfelejtik a negatív gyököt. Az x² = 4 megoldása x = 2 és x = -2. Az (x - 3)² = 4-ből x - 3 = 2 és x - 3 = -2 is következik. A 2023. októberi feladatban az utolsó pont csak mindkét válaszért jár.

x-szel osztanak. Az x² = 3x egyenletből osztással csak x = 3 marad, pedig x = 0 is megoldás. Kiemelj: x(x - 3) = 0.

D < 0 esetén mégis „megoldást” írnak. Negatív számból nem vonhatsz négyzetgyököt a valós számok körében. A helyes válasz: nincs valós megoldás.

Szöveges feladatban benne hagyják a negatív gyököt, vagy szó nélkül eldobják. Oldalhossz, darabszám nem lehet negatív: ezt írd le egy mondatban, mert pont jár érte. Ahol a negatív szám is megengedett, ott viszont ne dobd el.

Az egyenlőtlenségnél a rossz oldalt választják. Felfelé nyíló parabolánál (a > 0) a ≤ 0 megoldása a két gyök közötti szakasz, a ≥ 0 megoldása a gyökökön kívüli rész. Ha a feladat egész megoldást kér, intervallum helyett az egészeket sorold fel.

11. Ellenőrzés

1. Helyettesíts vissza az eredeti egyenletbe, mindkét gyököt. A 2026. májusi feladatnál x = 5-re és x = -13-ra is 80 jön ki. Ha az egyik gyök nem jó, hibáztál a képletben vagy a rendezésben.

2. Ellenőrizz gyöktényezős alakkal. Ha a gyökök 2 és 3, szorozd vissza: (x - 2)(x - 3) = x² - 5x + 6. Ha ez a nullára rendezett bal oldal (vagy annak a-szorosa), a gyökök jók.

3. Nézd meg a diszkriminánst. Egész együtthatóknál, ha D négyzetszám (a mintapéldákban 1, 4, 324, 10 404 és 16 129), a gyökök racionálisak. Ha D pozitív, de nem négyzetszám, a gyökök irracionálisak: ilyenkor a pontos alakot vagy a feladat által kért kerekítést adod meg. Ha szöveges feladatban egész választ vársz (oldalszám, darabszám), és mégsem egész jön ki, nézd át a felírást és a nullára rendezést.

4. Hivatkozhatsz az ekvivalens átalakításokra. Ha minden lépésed ekvivalens volt (zárójelbontás, rendezés, megoldóképlet), az útmutató ezt is elfogadja ellenőrzésként. A behelyettesítés biztonságosabb, mert a számolási hibát is megfogja.

5. Egyenlőtlenségnél próbálj ki egy számot. Az x² - 6x + 8 ≤ 0 megoldása [2; 4]. Az x = 3 belül van: 9 - 18 + 8 = -1 ≤ 0, igaz. Az x = 0 kívül van: 8 ≤ 0 hamis. Ha fordítva jön ki, rossz oldalt választottál.

6. Szöveges feladatnál vesd össze a szöveggel. A 27 cm és a 75 cm különbsége tényleg 48, szorzatuk tényleg 2025. A 65 oldalú sokszögnek tényleg 65 · 62 / 2 = 2015 átlója van.

7. Írj szöveges választ, mértékegységgel. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „A téglalap kerülete 204 cm.”

12. Összefoglaló

• A másodfokú egyenlet általános alakja ax² + bx + c = 0, ahol a ≠ 0; a megoldóképlet és a gép előtt az első lépés a nullára rendezés.
• A megoldóképlet: x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a); az egész számlálót osztod 2a-val.
• A diszkrimináns D = b² - 4ac: D > 0 esetén két, D = 0 esetén egy, D < 0 esetén nincs valós megoldás.
• Hiányos egyenletnél (b = 0 vagy c = 0) gyorsabb a kiemelés vagy a gyökvonás; az x² = 4-nek két megoldása van, 2 és -2.
• Teljes négyzetté alakítás után, például (x - 3)² = 4 alakból, gyökvonással kapod a két megoldást.
• A gyöktényezős alak a(x - x₁)(x - x₂); szorzattá alakításra, egyenlet felírására és tört egyszerűsítésére használod.
• A nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeit a gép indoklás nélkül is kiszámolhatja, de a nullára rendezett alakot le kell írni.
• A másodfokú egyenlőtlenségnél a gyökök és a parabola alakja dönt: a > 0 esetén a két gyök között negatív a kifejezés.
• Szöveges feladatban a szövegnek nem megfelelő (például negatív) gyököt kizárod, és ezt le is írod.
• Mindkét gyököt ellenőrizd behelyettesítéssel, és válaszolj egész mondatban, mértékegységgel.
• Csak emelt szint: a megoldóképlet igazolása, a gyökök és együtthatók közötti összefüggés (Viète-formulák), a paraméteres és a törtes egyenlet (x a nevezőben), a másodfokú egyenletrendszer és az egyenlőtlenség-rendszer.

13. Kulcsfogalmak

• Másodfokú egyenlet - rendezés után ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol a ≠ 0.
• Együtthatók - az a (x² mellett), a b (x mellett) és a c (konstans tag), mindig előjellel együtt.
• Nullára rendezés - minden tag egy oldalra kerül, a másik oldalon 0 áll; a képlet és a gép csak ezzel működik.
• Megoldóképlet - x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
• Diszkrimináns - a D = b² - 4ac kifejezés; előjele megmutatja a valós megoldások számát.
• Hiányos másodfokú egyenlet - olyan másodfokú egyenlet, amelyben b = 0 vagy c = 0.
• Teljes négyzetté alakítás - a kifejezést egy teljes négyzet és egy szám összegeként írod fel, például x² - 6x + 8 = (x - 3)² - 1.
• Gyöktényezős alak - ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂), ahol x₁ és x₂ az egyenlet gyökei.
• Másodfokú egyenlőtlenség - másodfokú kifejezés a <, >, ≤ vagy ≥ jellel; megoldáshalmaza általában intervallum vagy két intervallum uniója.
• Felfelé nyíló parabola - az a > 0 esetén kapott grafikon; a két gyöke között az x tengely alatt halad, ha két zérushelye van.
• Ne keverd össze: x² = 4 és x = 2 - az x² = 4-nek két megoldása van, a 2 és a -2.
• Ne keverd össze: valós és egész megoldások - a 2 ≤ x ≤ 4 a valós megoldáshalmaz, az egész megoldások csak a 2, a 3 és a 4.

14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Mi a másodfokú egyenlet általános alakja, és miért kell a ≠ 0?

Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja ax² + bx + c = 0, ahol a, b, c valós számok és a ≠ 0. Ha a = 0 lenne, eltűnne az x² tag, és elsőfokú egyenletet kapnánk. Az a az x² együtthatója, a b az x együtthatója, a c a konstans tag. Az együtthatókat előjellel együtt olvassuk le a nullára rendezett alakból.

2. Mi a diszkrimináns, és mit árul el az egyenletről?

A diszkrimináns a D = b² - 4ac kifejezés, ez áll a megoldóképletben a gyökjel alatt. Ha D > 0, az egyenletnek két különböző valós megoldása van. Ha D = 0, egy valós megoldása van. Ha D < 0, nincs valós megoldása, mert negatív számból nem vonhatunk négyzetgyököt. Például az x² + 2x + 5 = 0 egyenletnél D = -16, tehát nincs valós megoldás.

3. Hogyan oldasz meg egy másodfokú egyenletet a megoldóképlettel?

Először nullára rendezem, és leolvasom az a, b, c együtthatót előjellel együtt. Kiszámolom a diszkriminánst, D = b² - 4ac. Utána behelyettesítek a képletbe: x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a), az egész számlálót osztva 2a-val. Például az x² - 5x + 6 = 0 egyenletnél D = 1, a gyökök 3 és 2. A végén mindkét gyököt visszahelyettesítem.

4. Mi a gyöktényezős alak, és mire használod?

Ha az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei x₁ és x₂, akkor ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Ezzel a kifejezést szorzattá alakíthatom, például 2x² - 2x - 12 = 2(x - 3)(x + 2). Adott gyökökből egyenletet írhatok fel: a 2 és -3 gyökökhöz az (x - 2)(x + 3) = 0 tartozik. Törtet is egyszerűsíthetek vele, és a gyökök ellenőrzésére is jó.

5. Hogyan oldasz meg egy másodfokú egyenlőtlenséget?

Nullára rendezem, és megoldom a hozzá tartozó egyenletet. Utána megnézem az x² együtthatóját: ha pozitív, a parabola felfelé nyílik, és a két gyök között negatív, azokon kívül pozitív a kifejezés. A relációnak megfelelő részt választom, és a ≤, ≥ jelnél a végpontokat is beveszem. Például x² - 6x + 8 ≤ 0 esetén a gyökök 2 és 4, a megoldás a [2; 4] intervallum. Ha egész megoldás kell, ebből kiválasztom az egészeket: 2, 3, 4.

6. Mire figyelsz, ha egy szöveges feladat másodfokú egyenletre vezet?

Az ismeretlent mértékegységgel jelölöm, és leírom, milyen értéket vehet fel, például hogy pozitív. Felírom az egyenletet, nullára rendezem és megoldom. A két gyök közül csak a szövegnek megfelelőt tartom meg, és leírom, miért zártam ki a másikat. Például a téglalapos feladatban a gyökök 27 és -75, és a -75 nem lehet oldalhossz. A végén a szöveg alapján ellenőrzök, és egész mondatban válaszolok.

7. Mit kell leírnod, ha a másodfokú egyenletet számológéppel oldod meg?

A nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeinek gépi meghatározása indoklás nélkül is elfogadott lépés. A gép előtti lépéseket viszont le kell írni: az egyenlet felírását, a zárójelek felbontását és a nullára rendezett alakot. A 2026. májusi, a 2025. májusi és a 2024. májusi útmutató a nullára rendezett alakért és a gyökökért is külön pontot ad. Utána jön az ellenőrzés és a szöveges válasz.

8. Miért hiba az x² = 3x egyenletet x-szel elosztani?

Az x-szel osztás csak akkor szabad, ha x ≠ 0, ezért az osztással az x = 0 megoldás elveszik. Helyesen nullára rendezek: x² - 3x = 0, majd kiemelek: x(x - 3) = 0. Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, tehát x = 0 vagy x = 3. Mindkettő megoldás, ezt behelyettesítéssel is látom.