Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

Tételszám: #6 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel arról szól, hogyan oldasz meg egy olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen csak az első hatványon szerepel, például 9x + 20 = 200. Ide tartozik az elsőfokú egyenlőtlenség (például 3 - 2x ≥ 7) és a kétismeretlenes egyenletrendszer is, amikor két egyenletből két ismeretlent keresel.

Az írásbelin ez az egyik legbiztosabb pontforrás. A 2022 és 2026 közötti tíz középszintű feladatsorból ötben a II. rész 13. feladatának a) része egy elsőfokú egyenlet volt, 4-5 pontért. Mind az ötben külön pont járt az ellenőrzésért. A kétismeretlenes egyenletrendszer pedig szöveges feladatként jön elő a II. részben: árakat, két ismeretlen számot vagy mennyiséget kell meghatározni belőle.

A tétel módszert tanít: mérlegelv, közös nevező, zárójelbontás, behelyettesítés. A szöveges feladatok lefordítását egyenletre a 10. tétel gyakoroltatja részletesen, itt a hangsúly a megoldás menetén van.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

A feladat szövege általában ki is mondja, hogy egyenletet kell megoldani. A nehezebb eset az, amikor egy szöveges helyzetből kell felismerned, hogy egy vagy két ismeretlenre egyenletet írhatsz fel.

Árulkodó jelek a feladat szövegében

• „Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!”, és az x csak első hatványon áll, esetleg törtek számlálójában vagy zárójelben. Ez elsőfokú egyenlet: közös nevező, zárójelbontás, rendezés, ellenőrzés.
• „Melyik az a szám, amely ...?” Egy ismeretlen számot keresel egy feltételből. Jelöld x-szel, és írd fel a feltételt egyenletként.
• Két ismeretlen ár vagy mennyiség és két különböző vásárlás. Például 3 dl almalé és 5 dl baracklé ennyibe kerül, 5 dl almalé és 3 dl baracklé annyiba. Ez kétismeretlenes egyenletrendszer: két ismeretlen, két feltétel.
• „Két szám összege ...”, és van egy második feltétel is. Szintén egyenletrendszer, vagy egy ismeretlennel is megy: ha az egyik szám x, a másik 15 - x.
• „Legalább”, „legfeljebb”, „több mint”, „már jobban megérte”. Ez egyenlőtlenség. A válasz gyakran egy egész szám (hányszor, hány darab), ezért a végén a megoldáshalmazból kell kiválasztanod a megfelelő egészet.

Az elsőfokú egyenlet rendezését a számológép nem végezheti el helyetted pontot érő módon. A feladatlap tudnivalói szerint gépi lépésként indoklás nélkül csak az alapműveleteket, a hatványozást, a gyökvonást és néhány más műveletet fogadnak el (köztük a nullára rendezett másodfokú egyenlet megoldását), az elsőfokú egyenlet megoldását nem. Ezért a lépéseket le kell írnod.

3. Fogalmak és képletek

Ebben a szakaszban a módszereket ismered meg. A mintapéldák ezekre épülnek.

Egyenlet, alaphalmaz, megoldáshalmaz

Az egyenlet két kifejezés egyenlőségét állítja, és van benne ismeretlen. Az alaphalmaz az a halmaz, amelynek elemei közül a megoldást keresed. Az érettségin ezt a feladat mondja meg: „a valós számok halmazán” azt jelenti, hogy az alaphalmaz ℝ.

A megoldáshalmaz az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz. Az egyenlet megoldása (más néven gyöke) egy ilyen elem.

Az alaphalmaz megváltoztathatja a választ. A 2x = 3 egyenlet megoldása a valós számok halmazán x = 1,5. Az egész számok halmazán viszont nincs megoldása, mert az 1,5 nem egész: ott a megoldáshalmaz az üres halmaz.

Egy egyenletnek lehet egy megoldása, lehet, hogy nincs megoldása, és lehet, hogy az alaphalmaz minden eleme megoldás. Ha rendezés után 0 · x = 5 marad, nincs megoldás, mert 0-szor bármi 0. Ha 0 · x = 0 marad, minden valós szám megoldás. Ilyen például a 2(x + 1) = 2x + 2: ez minden x-re igaz, az ilyen egyenlőséget azonosságnak hívjuk.

Mérlegelv és ekvivalens átalakítások

A mérlegelv azt mondja: az egyenlet olyan, mint egy egyensúlyban lévő mérleg. Ha mindkét serpenyőbe ugyanazt teszed, vagy mindkettőből ugyanazt veszed el, az egyensúly megmarad. Az egyenletnél ez azt jelenti, hogy mindkét oldallal ugyanazt a műveletet végzed.

Az ekvivalens átalakítás olyan lépés, amely után az egyenlet megoldáshalmaza ugyanaz marad. Elsőfokú egyenletnél ezeket használod:

mindkét oldalhoz ugyanazt a számot vagy kifejezést hozzáadod  (+ 5, - 3x)
mindkét oldalból ugyanazt kivonod
mindkét oldalt ugyanazzal a NEM NULLA számmal szorzod
mindkét oldalt ugyanazzal a NEM NULLA számmal osztod
az egyik oldalon összevonsz, zárójelet bontasz (ez nem változtat semmin)

A 0-val szorzás tilos, mert utána 0 = 0 lesz, és minden információ elvész. A négyzetre emelés már nem ekvivalens átalakítás: következményegyenletet ad, amelynek hamis gyöke is lehet, ezért a négyzetgyökös egyenleteknél (8. tétel) ellenőrizni kell. Az elsőfokú egyenlet fenti lépései mind ekvivalensek, ezért az ellenőrzés itt a számolási hibát fogja meg.

Az elsőfokú egyenlet megoldásának menete

Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet rendezés után ax = b alakú, ahol a ≠ 0. Ebből x = b / a. Oda ezekkel a lépésekkel jutsz el:

1. Ha tört van: szorozd meg MINDEN tagot a nevezők legkisebb
   közös többszörösével, hogy eltűnjenek a nevezők.
2. Bontsd fel a zárójeleket.
3. Vond össze az egynemű tagokat mindkét oldalon.
4. Vidd az x-es tagokat az egyik oldalra, a számokat a másikra.
5. Oszd el mindkét oldalt x együtthatójával.
6. Ellenőrizz: helyettesítsd vissza az eredeti egyenletbe.

Rövid példa: 4x - 7 = x + 8. Mindkét oldalból kivonsz x-et: 3x - 7 = 8. Mindkét oldalhoz hozzáadsz 7-et: 3x = 15. Mindkét oldalt elosztod 3-mal: x = 5. Ellenőrzés: a bal oldal 4 · 5 - 7 = 13, a jobb oldal 5 + 8 = 13.

Ha egy tört számlálójában összeg áll, a közös nevezővel szorzáskor tedd zárójelbe a számlálót. A törtvonal zárójelként működik: a -(x + 5) / 6 tagot 30-cal szorozva -5(x + 5) = -5x - 25 lesz, nem -5x + 25.

Ha x a nevezőben van (például 3 / x = 2), az törtes egyenlet. A követelmény szerint ilyen egyenlet megoldása már emelt szintű. Középszinten a törtek nevezője szám, ez a törtes együtthatójú egyenlet. Kivétel a szöveges feladatból adódó egyszerű aránypár, ahol a nevező pozitív mennyiség (például létszám): a 2022. októberi II. rész 17. b) feladatban a (3x + 5) / (2x + 6) = 4 / 3 keresztbe szorzással elsőfokú egyenletre vezet, és ez középszintű (10. tétel), emelt csak a törtes egyenletek általános megoldása kikötéssel és az értelmezési tartomány vizsgálatával.

Grafikus megoldás

Az egyenlet két oldalát két függvényként is felfoghatod, és ábrázolhatod ugyanabban a koordináta-rendszerben. A megoldás a két grafikon metszéspontjának első koordinátája, mert ott ugyanannyi a két oldal értéke.

Példa: 2x - 1 = -x + 5. A bal oldal az f(x) = 2x - 1 egyenes, amely a (0; -1) ponton megy át, és jobbra lépve egyet kettőt emelkedik. A jobb oldal a g(x) = -x + 5 egyenes, amely a (0; 5) ponton megy át, és jobbra lépve egyet egyet süllyed. A két egyenes a (2; 3) pontban metszi egymást, tehát a megoldás x = 2. Algebrai úton ugyanez: 3x = 6, x = 2.

A grafikus megoldás jó becslésre és ellenőrzésre, de a leolvasás pontatlan lehet, főleg ha a metszéspont nem rácspontra esik. Az útmutatók általános szabálya szerint az ábra bizonyító erejű felhasználása (például adat leolvasása méréssel) nem fogadható el. A leolvasott értéket ezért mindig helyettesítsd vissza, és írd le a számolást is.

Elsőfokú egyenlőtlenség

Az egyenlőtlenség két kifejezést a <, >, ≤ vagy ≥ jellel hasonlít össze. Az elsőfokú egyenlőtlenséget ugyanúgy rendezed, mint az egyenletet, egy kivétellel: ha mindkét oldalt negatív számmal szorzod vagy osztod, megfordul a reláció iránya.

Miért? A 2 < 5 igaz, de (-1)-gyel szorozva -2 > -5 lesz igaz, mert a -2 van közelebb a nullához. Példa:

3 - 2x ≥ 7          kivonunk 3-at mindkét oldalból
   -2x ≥ 4          osztunk (-2)-vel, ezért ≥ helyett ≤
     x ≤ -2

A megoldáshalmaz itt nem egy szám, hanem egy intervallum: ]-∞; -2]. A -2 benne van, mert a reláció ≤. A számegyenesen a -2-nél teli karika van, és tőle balra húzod be a félegyenest.

Ha egész megoldásokat kérnek, ebből választod ki őket. Az 5x - 3 < 2x + 9 egyenlőtlenségből 3x < 12, azaz x < 4. A pozitív egész megoldások tehát 1, 2 és 3; a 4 nem, mert a reláció szigorú (<).

Az egyenlőtlenség-rendszer (több egyenlőtlenség egyszerre) és a törtes egyenlőtlenség megoldása a követelmény szerint emelt szintű.

Kétismeretlenes egyenletrendszer: behelyettesítés és egyenlő együtthatók

A kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer két egyenletből áll, mindkettőben két ismeretlen (például x és y) szerepel, első hatványon. A megoldás egy számpár, például (x; y) = (2,5; 12,5), amely mindkét egyenletet kielégíti. A cél: a két egyenletből egy egyismeretlenes egyenletet csinálni.

Behelyettesítő módszer. Az egyik egyenletből kifejezed az egyik ismeretlent, és beírod a másik egyenletbe. Akkor kényelmes, ha valamelyik ismeretlen együtthatója 1 vagy -1 (például x + y = 15-ből y = 15 - x).

Egyenlő együtthatók módszere. Az egyenleteket úgy szorzod meg egy-egy számmal, hogy az egyik ismeretlen együtthatója a kettőben ugyanaz legyen. Ezután a két egyenletet kivonod egymásból (vagy összeadod), és az az ismeretlen kiesik.

3a + 5b = 1010   | · 5     15a + 25b = 5050
5a + 3b = 990    | · 3     15a +  9b = 2970
                 kivonva:        16b = 2080

Bármelyik módszert választod, a végén az egyik ismeretlen értékét visszahelyettesíted, hogy megkapd a másikat. Az útmutatók mindkét módszert elfogadják.

Grafikusan a két egyenlet két egyenes a koordináta-rendszerben, és a megoldás a metszéspontjuk. Ha a két egyenes párhuzamos, nincs megoldás; ha egybeesik, végtelen sok van. A háromismeretlenes egyenletrendszer már emelt szintű.

Szöveges feladat egyenlettel: a négy lépés

A II. részben az egyenletrendszer szinte mindig szöveges feladatban jön. A megoldás váza:

1. Jelöld meg az ismeretleneket, mértékegységgel: „1 dl almalé ára a Ft”. Írd mellé, milyen értéket vehet fel (pozitív, egész, a kisebb szám kisebb 7,5-nél stb.).
2. Fordítsd le a feltételeket egyenletre, mindegyiket külön sorba.
3. Oldd meg a fenti módszerek egyikével.
4. Ellenőrizz a szöveg alapján, és válaszolj egész mondatban, mértékegységgel.

Az útmutatók a szöveges feladatoknál az ellenőrzésért a szövegbe helyettesítést kérik, nem a saját egyenletedbe. Ha az egyenletet rosszul írtad fel, a saját egyenletedbe helyettesítve nem veszed észre a hibát, a szövegbe helyettesítve igen.

4. Mintapélda 1 - szám az ellentettjéből (I. rész)

A feladat (2022. május, I. rész 3. feladat, 2 pont). Melyik az a szám, amely 10-zel kisebb az ellentettjénél?

Felismerés. Egy ismeretlen számot keresel egy feltételből. Az ellentett a -1-szerese: az x ellentettje -x.

Megoldás.

1. lépés: jelöljük a számot x-szel; az ellentettje -x.
   „10-zel kisebb az ellentettjénél”: x = -x - 10

2. lépés: mindkét oldalhoz hozzáadunk x-et, hogy az x-ek egy oldalra kerüljenek.
   2x = -10

3. lépés: mindkét oldalt elosztjuk 2-vel.
   x = -5

Tehát a keresett szám a -5. Ellenőrzés: a -5 ellentettje 5, és 5 - 10 = -5. Valóban 10-zel kisebb.

Amire pont jár. Az útmutató a -5-ért adja a 2 pontot, részpontot nem sorol fel. Az I. részben a keretbe a végeredmény kerül, levezetés nélkül is.

A gyakori hiba itt a fordítás: a „10-zel kisebb az ellentettjénél” nem x - 10 = -x, hanem x = -x - 10. Annál vonsz le 10-et, amelyiknél kisebb a szám.

5. Mintapélda 2 - zárójeles elsőfokú egyenlet (II. rész)

A feladat (2024. május, II. rész 13. a) feladat, 4 pont). Oldd meg a valós számok halmazán: 18 · (7x + 96) + 19 · (5x - 56) = 1990.

Felismerés. Az x csak első hatványon szerepel, zárójelben. Először a zárójeleket bontod fel, utána rendezel.

Megoldás.

1. lépés: zárójelbontás; a szorzót a zárójel MINDEN tagjával megszorozzuk.
   126x + 1728 + 95x - 1064 = 1990

2. lépés: összevonás a bal oldalon (126x + 95x = 221x, 1728 - 1064 = 664).
   221x + 664 = 1990

3. lépés: mindkét oldalból kivonunk 664-et.
   221x = 1326

4. lépés: mindkét oldalt elosztjuk 221-gyel.
   x = 6

Ellenőrzés. A bal oldal x = 6-tal: 18 · (42 + 96) + 19 · (30 - 56) = 18 · 138 + 19 · (-26) = 2484 - 494 = 1990. Ez egyenlő a jobb oldallal.

Tehát az egyenlet megoldása x = 6.

Amire pont jár. Egy pont jár a zárójelbontásért, egy a 221x = 1326 alakért, egy az x = 6-ért, és egy az ellenőrzésért. Az ellenőrzés pontja behelyettesítésért vagy az ekvivalens átalakításokra való hivatkozásért is jár.

6. Mintapélda 3 - törtes együtthatójú egyenlet (II. rész)

A feladat (2025. május, II. rész 13. a) feladat, 5 pont). Oldd meg a valós számok halmazán:

(x + 8) / 20 + (x - 5) / 25 = 2

Felismerés. A nevezők számok, tehát ez elsőfokú, törtes együtthatójú egyenlet. A törteket a nevezők legkisebb közös többszörösével tünteted el. A 20 = 2² · 5 és a 25 = 5², ezért a legkisebb közös többszörös 2² · 5² = 100.

Megoldás.

1. lépés: közös nevezőre hozzuk a törteket (20 · 5 = 100, 25 · 4 = 100).
   (5x + 40) / 100 + (4x - 20) / 100 = 2

2. lépés: mindkét oldalt szorozzuk 100-zal, hogy eltűnjön a nevező.
   Vigyázz: a jobb oldali 2-t is szorozni kell.
   5x + 40 + 4x - 20 = 200

3. lépés: összevonás.
   9x + 20 = 200

4. lépés: kivonunk 20-at, majd osztunk 9-cel.
   9x = 180
   x = 20

Ellenőrzés. x = 20-szal a bal oldal 28/20 + 15/25 = 1,4 + 0,6 = 2. Ez egyenlő a jobb oldallal.

Tehát az egyenlet megoldása x = 20.

Amire pont jár. Öt darab 1 pontos lépés: a közös nevezőre hozás (ez akkor is jár, ha rögtön mindkét oldalt 100-zal szorzod), az 5x + 40 + 4x - 20 = 200 sor, a 9x + 20 = 200, az x = 20 és az ellenőrzés.

Gyakorold (2024. október, II. rész 13. a) feladat, 5 pont). Oldd meg: (x + 3) / 4 + (x + 1) / 5 = -x / 2. A nevezők legkisebb közös többszöröse 20. A 20-szal szorzás után 5x + 15 + 4x + 4 = -10x, rendezve 9x + 19 = -10x, ebből 19x = -19, tehát x = -1. Ellenőrzés: a bal oldal 2/4 + 0/5 = 0,5, a jobb oldal -(-1)/2 = 0,5. Itt az útmutató a közös nevezőre hozásért 2 pontot ad.

7. Mintapélda 4 - bérlet vagy jegy, egyenlőtlenséggel (II. rész)

A feladat (2023. október, II. rész 17. c) feladat, 4 pont, rövidítve). 2022 januárjában egy havi vasúti tanulóbérlet 30 km-re 2140 Ft volt. Ugyanerre a távolságra a tanuló menetjegy 280 Ft volt, amiből jegykiadó automatánál 5% kedvezmény járt. Ábel ebben a hónapban annyiszor utazott ezen a távon, hogy már jobban megérte neki a bérlet. Ha viszont eggyel kevesebbszer utazott volna, olcsóbb lett volna automatából egyesével jegyet venni. Hányszor utazott Ábel?

Felismerés. „Már jobban megérte” azt jelenti, hogy a jegyek ára több, mint a bérleté: ez egyenlőtlenség. A keresett szám pozitív egész (hányszor utazott), ezért a végén egészet választasz.

Megoldás.

1. lépés: egy jegy ára az 5% kedvezménnyel (a 95%-át fizeted).
   280 · 0,95 = 266 Ft

2. lépés: jelölje n az utazások számát. A bérlet akkor éri meg jobban,
   ha n jegy többe kerülne nála:
   2140 < 266n

3. lépés: osztunk 266-tal (pozitív szám, a reláció nem fordul meg).
   8,05 < n                    (2140 / 266 ≈ 8,045)

4. lépés: a legkisebb ilyen egész n a 9. Megnézzük a második feltételt is:
   8 jegy ára 8 · 266 = 2128 Ft < 2140 Ft, tehát 8 utazásnál
   a jegy lett volna olcsóbb, 9-nél (9 · 266 = 2394 Ft) a bérlet.

Tehát Ábel 9-szer utazott ebben a hónapban ezen a távolságon.

Amire pont jár. Egy pont jár a 266 Ft-ért, egy a 2140 < 266n egyenlőtlenségért és a 8,05 < n eredményért. Egy további pont jár azért a gondolatért, hogy a bérlet 8 jegynél többe, 9 jegynél kevesebbe kerül (ez akkor is jár, ha csak a megoldásból derül ki). Az utolsó pont a válaszé: 9-szer utazott.

Figyelj: a 8,05-öt nem kerekíted 8-ra. A kérdés az, hogy melyik egész szám nagyobb 8,05-nél, és ez a 9.

8. Mintapélda 5 - két szám egyenletrendszerből (II. rész)

A feladat (2026. május, II. rész 13. b) feladat, 6 pont). Két pozitív szám összege 15. Ha a kisebb szám háromszorosához hozzáadjuk a nagyobb szám kétszeresét, ugyanazt kapjuk, mintha a nagyobb szám háromszorosából kivonnánk a kisebb szám kétszeresét. Határozd meg a két számot!

Felismerés. Két ismeretlen szám, két feltétel: kétismeretlenes egyenletrendszer. A második feltétel hosszú mondat, ezt részenként fordítod le.

Megoldás.

1. lépés: jelöljük a kisebb számot x-szel, a nagyobbat y-nal.
   Mivel pozitívak, és x a kisebb, 0 < x < 7,5.

2. lépés: a két feltétel egyenletként.
   x + y = 15
   3x + 2y = 3y - 2x

3. lépés: a második egyenletet rendezzük (+2x, -2y mindkét oldalon).
   5x = y

4. lépés: behelyettesítjük az első egyenletbe (y helyére 5x).
   x + 5x = 15
   6x = 15
   x = 2,5

5. lépés: visszahelyettesítünk y = 5x-be.
   y = 5 · 2,5 = 12,5

Ellenőrzés a szöveg alapján. Az összeg 2,5 + 12,5 = 15. A kisebb háromszorosa plusz a nagyobb kétszerese: 7,5 + 25 = 32,5. A nagyobb háromszorosa mínusz a kisebb kétszerese: 37,5 - 5 = 32,5. A kettő egyenlő, és 2,5 < 7,5.

Tehát a kisebb szám 2,5, a nagyobb szám 12,5.

Amire pont jár. Két pont jár az ismeretlenek megnevezéséért és az egyenletrendszer felírásáért. Egy-egy pont jár az 5x = y-ért, a 6x = 15-ből kapott x = 2,5-ért, az y = 12,5-ért és a szöveg alapján végzett ellenőrzésért. Egy ismeretlennel is megoldható: ha a kisebb x, a nagyobb 15 - x, és 3x + 2(15 - x) = 3(15 - x) - 2x.

Gyakorold (2022. május, II. rész 13. b) feladat). Oldd meg a valós számpárok halmazán: x + y = 1 és 0,7x + 0,2y = x. Az elsőből y = 1 - x, ezt beírva 0,7x + 0,2 - 0,2x = x, rendezve 0,2 = 0,5x. Ebből x = 0,4 és y = 0,6.

9. Mintapélda 6 - üdítőárak egyenletrendszerrel (II. rész)

A feladat (2024. május, II. rész 15. a) feladat, 6 pont). Egy étteremben az üdítők árát deciliterenként adják meg. 3 dl almalé és 5 dl baracklé összesen 1010 Ft, 5 dl almalé és 3 dl baracklé összesen 990 Ft. Mennyibe kerül 1 dl almalé, és mennyibe 1 dl baracklé?

Felismerés. Két ismeretlen ár, két vásárlás: kétismeretlenes egyenletrendszer. Az együtthatók között nincs 1, ezért itt az egyenlő együtthatók módszere a kényelmesebb.

Megoldás.

1. lépés: jelölje a az 1 dl almalé, b az 1 dl baracklé árát forintban.
   3a + 5b = 1010
   5a + 3b = 990

2. lépés: az első egyenletet 5-tel, a másodikat 3-mal szorozzuk,
   hogy az a együtthatója mindkettőben 15 legyen.
   15a + 25b = 5050
   15a +  9b = 2970

3. lépés: a két egyenletet kivonjuk egymásból, az a kiesik.
   16b = 2080
   b = 130

4. lépés: visszahelyettesítünk az első egyenletbe.
   3a + 5 · 130 = 1010
   3a = 360
   a = 120

Ellenőrzés a szöveg alapján. 3 · 120 + 5 · 130 = 360 + 650 = 1010 Ft, és 5 · 120 + 3 · 130 = 600 + 390 = 990 Ft. Mindkettő stimmel.

Tehát 1 dl almalé 120 Ft-ba, 1 dl baracklé 130 Ft-ba kerül.

Amire pont jár. Egy pont jár a jelölésért és az egyenletrendszer felírásáért. A következő két pont az egyik ismeretlen kifejezéséért és a behelyettesítésért jár, vagy ugyanennyi az egyenlő együtthatók módszeréért, a 16b = 2080-ig. Egy-egy pont jár az a = 120-ért, a b = 130-ért és a szövegbe helyettesítő ellenőrzésért.

Az útmutató egy ügyes másik utat is elfogad: a két vásárlás együtt 8 dl almalé és 8 dl baracklé, 2000 Ft-ért. Tehát 1 dl almalé és 1 dl baracklé együtt 250 Ft, és innen egy ismeretlennel is megy: 3a + 5(250 - a) = 1010.

Gyakorold (2024. október, II. rész 16. a) feladat, 6 pont). 4 kg kristálycukor és 1 kg barna cukor 2600 Ft, 3 kg kristálycukor és 2 kg barna cukor 3275 Ft. Ha 1 kg kristálycukor k Ft, 1 kg barna cukor b Ft, akkor 4k + b = 2600 és 3k + 2b = 3275. Az elsőből b = 2600 - 4k, ezt beírva 3k + 5200 - 8k = 3275, ebből k = 385 Ft és b = 1060 Ft.

10. Tipikus hibák

Itt a legtöbben elrontják: a közös nevezővel nem szoroznak meg minden tagot. Az (x + 8) / 20 + (x - 5) / 25 = 2 egyenletben a jobb oldali 2-t is 100-zal kell szorozni, így 200 lesz belőle. Ha 2 marad, rossz eredmény jön ki.

Elfelejtik a zárójelet a tört számlálója körül. A -(x + 5) / 6 tag 30-cal szorozva -5(x + 5) = -5x - 25. Aki zárójel nélkül írja, abból -5x + 25 lesz, és az előjelhiba végigmegy a megoldáson.

A zárójelbontásnál csak az első tagot szorozzák. 19 · (5x - 56) = 95x - 1064, nem 95x - 56. A szorzó a zárójel minden tagjára vonatkozik.

Az oldalak közötti átvitelnél nem váltanak előjelet. Ha 9x + 20 = 200-ból 9x = 200 + 20 lesz, az hiba: 20-at mindkét oldalból kivonsz, így 9x = 180.

Negatív számmal osztva nem fordítják meg az egyenlőtlenséget. A -2x ≥ 4-ből x ≤ -2 lesz, nem x ≥ -2. Pozitív számmal osztva viszont nem fordul meg a reláció.

Az egyenlőtlenség eredményét rosszul kerekítik egészre. A 8,05 < n feltételből a legkisebb egész n a 9, nem a 8. Egész válasznál mindig nézd meg, melyik irányba kell lépni.

Egyenletrendszernél csak az egyik ismeretlent adják meg. Az x = 2,5 csak a fele a megoldásnak: vissza kell helyettesíteni, és y-t is meg kell adni. A válasz egy számpár.

Az ellenőrzést kihagyják, vagy csak a saját egyenletbe helyettesítenek. Az ellenőrzés külön pont. Szöveges feladatnál a szövegbe helyettesíts, mert ha rosszul írtad fel az egyenletet, csak így veszed észre.

11. Ellenőrzés

1. Helyettesíts vissza az eredeti egyenletbe. Ne az átalakított alakba, mert ha az átalakításban hibáztál, ott a rossz eredmény is jónak tűnik. A 2025. májusi feladatnál x = 20-szal a bal oldal 1,4 + 0,6 = 2, és a jobb oldal is 2.

2. Számold ki a két oldalt külön. Előbb a bal oldal értékét, aztán a jobb oldalét, és hasonlítsd össze. A 2024. októberi feladatnál x = -1-gyel mindkét oldal 0,5.

3. Hivatkozhatsz az ekvivalens átalakításokra. Ha minden lépésed ekvivalens átalakítás volt, az útmutató ezt is elfogadja ellenőrzésként. Ezt írd le egy mondatban, például: „Ekvivalens átalakításokat végeztem, ezért az x = 20 megoldás.” A behelyettesítés biztonságosabb, mert a számolási hibát is megfogja.

4. Egyenlőtlenségnél próbálj ki egy számot. A 3 - 2x ≥ 7 egyenlőtlenség megoldása x ≤ -2. Az x = -3 benne van a megoldáshalmazban, és tényleg: 3 + 6 = 9 ≥ 7. Az x = 0 nincs benne, és tényleg: 3 ≥ 7 hamis. A végpontot (-2) is nézd meg: 3 + 4 = 7 ≥ 7, ez igaz, tehát a végpont benne van.

5. Szöveges feladatnál vesd össze az eredményt a szöveggel. Az ár legyen pozitív, a darabszám és az utazások száma pozitív egész, a „kisebb szám” tényleg legyen kisebb. Ha 1 dl almalé -40 Ft-nak jönne ki, valahol hiba van.

6. Becsülj előre. 8 dl almalé és 8 dl baracklé 2000 Ft, tehát 1 dl átlagosan kb. 125 Ft. A 120 és a 130 Ft ehhez illik.

7. Írj szöveges választ, mértékegységgel. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „1 dl almalé 120 Ft-ba, 1 dl baracklé 130 Ft-ba kerül.”

12. Összefoglaló

• Az egyenlet megoldáshalmaza az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz; „a valós számok halmazán” azt jelenti, hogy az alaphalmaz ℝ.
• A mérlegelv: mindkét oldallal ugyanazt a műveletet végzed; nullával szorozni tilos.
• Az elsőfokú egyenlet rendezés után ax = b alakú (a ≠ 0), és x = b / a.
• Törtes együtthatónál minden tagot megszorzol a nevezők legkisebb közös többszörösével, a jobb oldalt is.
• A tört számlálóját szorzáskor zárójelbe teszed, különben előjelhibát ejtesz.
• Ha rendezés után 0 · x = 5 marad, nincs megoldás; ha 0 · x = 0, minden valós szám megoldás.
• Grafikusan a megoldás a két oldal grafikonjának metszéspontjánál van; a leolvasott értéket számolással ellenőrizni kell.
• Egyenlőtlenségnél negatív számmal szorozva vagy osztva megfordul a reláció; a megoldáshalmaz intervallum, például ]-∞; -2].
• A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása egy számpár; módszere a behelyettesítés vagy az egyenlő együtthatók módszere.
• Szöveges feladatnál: ismeretlenek jelölése, egyenletek felírása, megoldás, ellenőrzés a szöveg alapján, szöveges válasz.
• Az írásbelin az elsőfokú egyenletnél az ellenőrzés külön pontot ér: behelyettesítéssel vagy az ekvivalens átalakításokra hivatkozással.
• Csak emelt szint: paraméteres egyenlet, háromismeretlenes egyenletrendszer, egyenlőtlenség-rendszer, törtes egyenlet és egyenlőtlenség (x a nevezőben) általános megoldása. Kivétel a szöveges feladatból adódó egyszerű aránypár pozitív nevezővel: ez keresztbe szorzással középszintű (10. tétel).

13. Kulcsfogalmak

• Egyenlet - két kifejezés egyenlőségét állító, ismeretlent tartalmazó nyitott mondat.
• Alaphalmaz - az a halmaz, amelynek elemei közül az egyenlet megoldását keresed.
• Megoldáshalmaz - az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet (egyenlőtlenség) igaz.
• Mérlegelv - az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végzed, így az egyenlőség megmarad.
• Ekvivalens átalakítás - olyan átalakítás, amely után a megoldáshalmaz nem változik (például nem nulla számmal szorzás).
• Elsőfokú egyenlet - rendezés után ax = b alakú, ahol a ≠ 0, vagyis az ismeretlen csak első hatványon szerepel.
• Azonosság - olyan egyenlőség, amely az alaphalmaz minden elemére igaz, például 2(x + 1) = 2x + 2.
• Grafikus megoldás - a két oldalt függvényként ábrázolod; a megoldás a grafikonok metszéspontjának első koordinátája.
• Elsőfokú egyenlőtlenség - két elsőfokú kifejezés <, >, ≤ vagy ≥ jellel összekapcsolva; megoldáshalmaza általában intervallum.
• Kétismeretlenes egyenletrendszer - két egyenlet két ismeretlennel; megoldása az a számpár, amely mindkettőt kielégíti.
• Behelyettesítő módszer - az egyik egyenletből kifejezett ismeretlent beírod a másik egyenletbe.
• Egyenlő együtthatók módszere - az egyenleteket úgy szorzod, hogy az egyik ismeretlen együtthatója egyezzen, majd kivonod (összeadod) őket.
• Ne keverd össze: törtes együtthatójú és törtes egyenlet - az elsőben a nevező szám (középszint), a másodikban x is a nevezőben van (általános megoldása emelt szint; a szöveges feladat egyszerű aránypárja kivétel).
• Ne keverd össze: -2x ≥ 4 megoldása x ≤ -2, nem x ≥ -2 - negatív számmal osztva a reláció megfordul.

14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Mi az alaphalmaz és a megoldáshalmaz? Mondj példát arra, hogy az alaphalmaz számít!

Az alaphalmaz az a halmaz, amelynek elemei közül a megoldást keressük; az érettségin ezt a feladat adja meg, például „a valós számok halmazán”. A megoldáshalmaz az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz. A 2x = 3 egyenlet megoldása a valós számok halmazán 1,5. Az egész számok halmazán viszont nincs megoldása, ott a megoldáshalmaz az üres halmaz.

2. Mi a mérlegelv, és melyek az ekvivalens átalakítások?

A mérlegelv szerint az egyenlet két oldalával ugyanazt a műveletet végezzük, így az egyenlőség megmarad. Ekvivalens átalakítás az, ami után a megoldáshalmaz nem változik. Ilyen, ha mindkét oldalhoz ugyanazt hozzáadjuk vagy kivonjuk, és ha mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk vagy osztjuk. Nullával szorozni nem szabad, mert utána minden szám megoldásnak látszana.

3. Hogyan oldasz meg egy törtes együtthatójú elsőfokú egyenletet?

Először minden tagot megszorzok a nevezők legkisebb közös többszörösével, a jobb oldalt is, a számlálókat zárójelbe téve. Utána felbontom a zárójeleket, összevonok, az x-es tagokat az egyik oldalra, a számokat a másikra viszem. Végül elosztom x együtthatójával. Például (x + 8) / 20 + (x - 5) / 25 = 2-ből 100-zal szorozva 9x + 20 = 200, tehát x = 20. A végén behelyettesítéssel ellenőrzök.

4. Hogyan oldasz meg egy elsőfokú egyenlőtlenséget, és miben más, mint az egyenlet?

Ugyanúgy rendezem, mint az egyenletet, de ha negatív számmal szorzok vagy osztok, megfordul a reláció iránya. Például 3 - 2x ≥ 7-ből -2x ≥ 4, és (-2)-vel osztva x ≤ -2. A megoldáshalmaz nem egy szám, hanem egy intervallum: ]-∞; -2]. Ha egész megoldás kell, ebből választom ki az egészeket.

5. Milyen módszerekkel oldasz meg egy kétismeretlenes egyenletrendszert?

A behelyettesítő módszernél az egyik egyenletből kifejezem az egyik ismeretlent, és beírom a másikba. Az egyenlő együtthatók módszerénél úgy szorzom meg az egyenleteket, hogy az egyik ismeretlen együtthatója egyezzen, és a két egyenletet kivonom egymásból. Mindkét esetben egyismeretlenes egyenletet kapok. A megoldás egy számpár, ezért a végén vissza kell helyettesíteni a másik ismeretlenért. Grafikusan ez a két egyenes metszéspontja.

6. Mit jelent az egyenlet grafikus megoldása?

Az egyenlet két oldalát két függvényként ábrázolom ugyanabban a koordináta-rendszerben. A megoldás a két grafikon metszéspontjának első koordinátája, mert ott egyenlő a két oldal értéke. Például 2x - 1 = -x + 5 esetén a két egyenes a (2; 3) pontban metszi egymást, tehát x = 2. A leolvasott értéket számolással ellenőrizni kell, mert az ábráról mért adat az útmutatók szerint nem bizonyító erejű.

7. Hogyan oldasz meg egy szöveges feladatot egyenletrendszerrel, és hogyan ellenőrzöl?

Először megnevezem az ismeretleneket mértékegységgel, például 1 dl almalé ára a Ft, és megadom, milyen értéket vehetnek fel. Utána minden feltételt egy-egy egyenletre fordítok, és megoldom az egyenletrendszert. Az ellenőrzést a szöveg alapján végzem, nem a saját egyenletembe helyettesítve, mert így derül ki, ha rosszul írtam fel az egyenletet. A végén szöveges választ adok: 1 dl almalé 120 Ft, 1 dl baracklé 130 Ft.

8. Hányszor utazott Ábel, ha a bérlet 2140 Ft, egy jegy 266 Ft, és a bérlet épp megérte?

Ha n-szer utazott, akkor a bérlet akkor éri meg, ha 2140 < 266n. Ebből n > 8,05, tehát a legkisebb ilyen egész a 9. Eggyel kevesebb, 8 utazásnál a jegyek ára 2128 Ft lett volna, ami kevesebb a bérletnél, tehát ott a jegy érte volna meg. Ábel tehát 9-szer utazott.