Algebrai kifejezések, nevezetes azonosságok

Tételszám: #5 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel arról szól, hogyan számolsz betűkkel: hogyan bontasz fel zárójelet, hogyan vonod össze a tagokat, és hogyan alakítasz egy összeget szorzattá. A tétel közepén a három nevezetes azonosság áll: (a + b)², (a - b)² és (a + b)(a - b). Ezekkel egy hosszú kifejezésből néhány lépésben rövid, áttekinthető alak lesz.

Az írásbelin ebből I. részes, 2-3 pontos feladat szokott jönni (2022 és 2026 között a tíz feladatsorból háromban volt önálló ilyen feladat), például a 2023. októberi 8., a 2025. októberi 2. és a 2026. októberi 6. feladat. A végeredményt keretbe írod, és ha a feladat kéri, a lépéseket is.

Ennél sokkal több pont múlik rajta közvetve. A II. rész 13. feladatában 2022 májusában és 2026 májusában is olyan egyenletet kellett megoldani, amelyben egy zárójeles kifejezés négyzete állt. Aki itt rosszul bontja fel a négyzetet, annak az egész egyenlet elcsúszik. Ezért ez a tétel eszköz: a másodfokú egyenletek, a függvények és a koordinátageometria mind erre épülnek.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

Az algebrai feladatot a feladat igéjéből ismered fel: bontsd fel, vond össze, alakítsd szorzattá, fejezd ki.

Árulkodó jelek a feladat szövegében

• „Bontsa fel a zárójeleket”, „hozza egyszerűbb alakra”, „végezze el a lehetséges összevonásokat”. Zárójelfelbontás, utána összevonás. Ha a zárójel négyzeten van, nevezetes azonosság kell.
• „Megoldását részletezze!” Az I. részben is le kell írnod a közbülső lépéseket, mert azokért külön pont jár.
• Egy zárójeles kifejezés négyzete egy egyenletben, például (x - 5)² + 7 = 2x. Előbb kifejted a négyzetet, aztán nullára rendezel. Ez a másodfokú egyenlet első lépése.
• „Két egymást követő egész szám”, „egy szám és a nála 3-mal nagyobb szám”. A számokat x és x + 1 (x + 3) alakban írod fel, és ha négyzetük szerepel, az (x + 1)²-et a nevezetes azonossággal bontod ki.
• „Számítsa ki t értékét”, ha a képletben több betű van, és a többi ismert. Képletből kell egy betűt kifejezni, vagy előbb behelyettesíteni, és utána egy egyszerű egyenletet megoldani.
• „Egyszerűsítse a törtet”, és a számlálóban vagy a nevezőben összeg áll. Előbb szorzattá alakítasz, csak utána egyszerűsítesz.

3. Fogalmak és képletek

A három nevezetes azonosságot fejből kell tudnod, mert az I. részben 45 perc alatt 12 feladatot oldasz meg, és nincs idő keresgélni. A hatványozás azonosságait (például (x³)² = x⁶) a 4. tétel tanítja, itt csak használjuk őket.

Tag, tényező, együttható, egynemű kifejezések

Egy összeg részei a tagok, egy szorzat részei a tényezők. A 3x² - 5x + 7 összegnek három tagja van: 3x², -5x és 7. A tag előjele a taghoz tartozik, ezért a második tag -5x, nem 5x.

Az egytagú kifejezés egy szám és betűk (hatványaik) szorzata, például -4a²b. Ebben a számszorzó, a -4 az együttható. Ha nincs kiírva szám, az együttható 1: az x² együtthatója 1, a -x együtthatója -1.

Két egytagú kifejezés egynemű, ha a betűs részük pontosan ugyanaz: ugyanazok a betűk, ugyanazokon a kitevőkön. A 3x²y és a -5x²y egynemű, a 3x² és a 3x nem, mert a kitevő más.

A polinom egytagú kifejezések összege, például 2x² - 5x + 3. A végeredményt szokás a kitevők szerint csökkenő sorrendben leírni, ahogy a lenti mintapéldák útmutatói is. A polinom fokszámának fogalma már emelt szint.

Összevonás és zárójelfelbontás

Csak egynemű tagokat vonhatsz össze: ilyenkor az együtthatókat összeadod, a betűs rész marad.

4x² - 3x + 2x² + 5x - 1 = (4x² + 2x²) + (-3x + 5x) - 1 = 6x² + 2x - 1

A 3x² + 2x már nem vonható össze, mert a két tag nem egynemű. Ez nem 5x³ és nem 5x².

Ha a zárójel előtt plusz áll, a zárójel egyszerűen elhagyható. Ha mínusz áll előtte, a zárójel elhagyásakor minden tag előjele megfordul. Ha egy szám áll előtte, minden tagot megszorzol vele:

5 - 2(x - 3) = 5 - 2x + 6 = 11 - 2x

Itt a -2-vel a -3-at is megszorzod, ezért lesz belőle +6. Ez a leggyakoribb előjelhiba helye.

Szorzás és osztás algebrai kifejezésekkel

Egytagút többtagúval úgy szorzol, hogy a zárójel minden tagját megszorzod vele: 3x(2x - 5) = 6x² - 15x.

Két többtagút úgy szorzol, hogy az első minden tagját a második minden tagjával megszorzod, aztán összevonsz:

(x + 4)(2x - 3) = 2x² - 3x + 8x - 12 = 2x² + 5x - 12

Egytagú kifejezés hatványánál minden tényezőt hatványozol, az együtthatót és az előjelet is: (-2a³b)² = 4a⁶b², és (3x²)³ = 27x⁶.

Osztásnál többtagút egytagúval tagonként osztasz: (12x³ - 8x²) / (4x) = 3x² - 2x. Nullával nem lehet osztani, ezért ez csak x ≠ 0 esetén igaz. Ezt a feltételt kikötésnek hívjuk.

A három nevezetes azonosság

Ez a három azonosság minden valós a és b számra igaz:

(a + b)² = a² + 2ab + b²       összeg négyzete
(a - b)² = a² - 2ab + b²       különbség négyzete
(a + b)(a - b) = a² - b²       összeg és különbség szorzata

Szóban: két tag összegének négyzete egyenlő az első tag négyzete, plusz a két tag szorzatának kétszerese, plusz a második tag négyzete. A különbség négyzeténél csak a középső tag előjele más. Az összeg és a különbség szorzata a két négyzet különbsége.

Az a és a b helyére bármilyen kifejezés kerülhet. Ilyenkor a „tag négyzete” az egész tag négyzete, együtthatóval együtt:

(x + 5)²       = x² + 10x + 25
(2x - 3)²      = 4x² - 12x + 9
(3a + 2b)²     = 9a² + 12ab + 4b²
(x - 7)(x + 7) = x² - 49

A (2x - 3)²-ben az első tag négyzete (2x)² = 4x², a középső tag 2 · 2x · 3 = 12x, mínusz előjellel.

Miért igazak az azonosságok

Az azonosság csak egy rövidítés: ugyanazt kapod, ha a két többtagút a szokásos módon összeszorzod.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b²

Az első sorban az ab és a ba ugyanaz, ezért lesz belőlük 2ab. A második sorban a -ab és a +ab kiejtik egymást, ezért marad csak a² - b².

Az (a + b)² négyzettel is szemléltethető, pozitív a és b esetén. Rajzolj egy négyzetet, amelynek oldala a + b. Az alsó oldalon a bal alsó csúcstól mérj fel a hosszúságot, és húzz ott egy függőleges szakaszt a felső oldalig. A bal oldalon alulról mérj fel szintén a-t, és húzz ott egy vízszintes szakaszt a jobb oldalig. A nagy négyzet így négy részre esik: bal alul egy a oldalú négyzet (területe a²), jobb felül egy b oldalú négyzet (területe b²), és két a × b-s téglalap (együtt 2ab). A négy rész területének összege a nagy négyzet területe, (a + b)².

Szorzattá alakítás: kiemelés és nevezetes azonosságok

A szorzattá alakítás a zárójelfelbontás fordítottja: összegből szorzatot csinálsz. Két eszközöd van, és ebben a sorrendben próbáld őket.

1. Kiemelés. Ha minden tagban van közös tényező, azt a zárójel elé írod, a zárójelbe pedig azt, ami a tagokból marad:

6x² - 9x     = 3x(2x - 3)
4a²b + 6ab²  = 2ab(2a + 3b)

A legnagyobb közös tényezőt emeld ki: a számok legnagyobb közös osztóját és minden közös betűt a legkisebb kitevőjén. Ellenőrzésként szorozd vissza: 3x · 2x = 6x², 3x · (-3) = -9x.

2. Nevezetes azonosság visszafelé. Ha két négyzet különbségét látod, az a² - b² = (a - b)(a + b) szerint bontod:

x² - 49 = (x - 7)(x + 7)
9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)

Ha három tagod van, és az első és az utolsó egy-egy szám vagy kifejezés négyzete, nézd meg, hogy a középső a kettejük szorzatának kétszerese-e. Ha igen, teljes négyzetet látsz, vagyis egy összeg vagy különbség négyzetét:

x² - 10x + 25 = (x - 5)²        mert 25 = 5² és 10x = 2 · x · 5
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²       mert 4x² = (2x)², 9 = 3², 12x = 2 · 2x · 3

Néha a kettő egymás után jön: 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x - 3)(x + 3). Előbb kiemelsz, aztán a zárójelben ismered fel a két négyzet különbségét.

Az a² + b² (két négyzet összege) a nevezetes azonosságokkal nem alakítható szorzattá. Az x² + 49 nem (x + 7)², mert abból x² + 14x + 49 lenne. Az a³ - b³, az a³ + b³ és általában az aⁿ - bⁿ szorzattá alakításának saját azonossága már emelt szint. Ha viszont egy magasabb kitevős különbség két négyzet különbsége, a középszintű azonosság is elég: x⁴ - 16 = (x² - 4)(x² + 4) = (x - 2)(x + 2)(x² + 4).

Teljes négyzetté kiegészítés

Ha egy x² + px + q alakú kifejezés nem teljes négyzet, akkor is felírható egy teljes négyzet és egy szám összegeként. Ezt az átalakítást teljes négyzetté alakításnak is hívják (a követelmény és a 7. tétel ezt a nevet használja). Az x együtthatójának a fele kerül a zárójelbe, és a zárójel négyzetéből fölöslegesen keletkező számot levonod:

x² + 6x + 11:  6 fele 3, és (x + 3)² = x² + 6x + 9
               x² + 6x + 11 = (x + 3)² - 9 + 11 = (x + 3)² + 2

x² - 8x + 10:  8 fele 4, és (x - 4)² = x² - 8x + 16
               x² - 8x + 10 = (x - 4)² - 16 + 10 = (x - 4)² - 6

Ellenőrizd visszabontással: (x - 4)² - 6 = x² - 8x + 16 - 6 = x² - 8x + 10. Ezt az alakot a másodfokú egyenlet megoldásánál és a másodfokú függvény ábrázolásánál használod, azokat a 7. és a 12. tétel tanítja.

Algebrai tört egyszerűsítése

Egy törtet csak közös tényezővel egyszerűsíthetsz, taggal nem. Ezért ha a számlálóban vagy a nevezőben összeg áll, előbb szorzattá alakítod, és csak utána egyszerűsítesz:

(x² - 9) / (x² + 6x + 9) = (x - 3)(x + 3) / (x + 3)² = (x - 3) / (x + 3)

Az eredeti tört nevezője nem lehet 0, ezért ide is kikötés kell: x ≠ -3. A kikötést az eredeti nevezőből írod fel, mert egyszerűsítés után a feltétel eltűnhet a szem elől. A törtes egyenlet (x a nevezőben) általános megoldása már emelt szint (6. tétel), középszinten az ilyen egyszerűsítés a cél.

Betű kifejezése képletből

Ha egy képletből egy betűt kell kifejezned, úgy dolgozol, mint egy egyenletnél: mindkét oldalon ugyanazt a műveletet végzed (ez a mérlegelv), amíg a keresett betű egyedül marad. Példa: egy téglalap kerülete K = 2(a + b), és a b oldal kell.

K = 2(a + b)        osztunk 2-vel
K / 2 = a + b       kivonunk a-t
b = K / 2 - a

A számlálóban álló különbséget mindig zárójelbe tedd, ha egy betű mellett írod: t = (a - b) / c, és nem t = a - b / c, mert az utóbbiban csak a b-t osztanád c-vel. Ha a feladat számértékeket is ad, gyakran gyorsabb előbb behelyettesíteni, és utána egy egyszerű egyenletet megoldani.

Fejszámolás és oszthatóság az azonosságokkal

A nevezetes azonosságok számokkal is működnek, és fejben is gyorsítanak:

99 · 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100² - 1 = 9999
52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704
49² = (50 - 1)² = 2500 - 100 + 1 = 2401
51² - 49² = (51 - 49)(51 + 49) = 2 · 100 = 200

Oszthatósági állítást is igazolhatsz velük. Ha n egész szám, akkor két egymást követő egész szám, n és n + 1 négyzetének különbsége (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1. A 2n + 1 páratlan, tehát két egymást követő egész szám négyzetének különbsége páratlan szám.

4. Mintapélda 1 - zárójelfelbontás és összevonás (I. rész)

A feladat (2026. október, I. rész 6. feladat, 2 pont). A zárójelek felbontásával és összevonással hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezést: (a + b)(a - b) + (3b)².

Felismerés. Az első szorzat az összeg és a különbség szorzata, a második tag egy egytagú kifejezés négyzete. Mindkettő egy-egy lépés.

Megoldás.

1. lépés: összeg és különbség szorzata, a nevezetes azonosság szerint.
   (a + b)(a - b) = a² - b²

2. lépés: egytagú kifejezés négyzete, az együtthatót is négyzetre emeljük.
   (3b)² = 9b²

3. lépés: összeírjuk, és a b²-es tagokat összevonjuk, mert egyneműek.
   a² - b² + 9b² = a² + 8b²

Tehát a kifejezés egyszerűbb alakja a² + 8b².

Amire pont jár. Az útmutató egy sorban adja a 2 pontot az a² + 8b² eredményért. A közbülső a² - b² + 9b² ott zárójelben áll, és az útmutató szabálya szerint a zárójeles rész hiánya nem von le pontot. Ha a (3b)²-ből 3b² lesz, a végeredmény a² + 2b², és ez rossz.

5. Mintapélda 2 - két nevezetes azonosság, részletezve (I. rész)

A feladat (2023. október, I. rész 8. feladat, 3 pont). Bontsd fel a zárójeleket a következő kifejezésben, és végezd el a lehetséges összevonásokat! A megoldást részletezd! (a + 1)(a - 1) + (a + 4)²

Felismerés. Két nevezetes azonosság van benne: az összeg és a különbség szorzata, valamint egy összeg négyzete. A „részletezze” szó azt jelenti, hogy mindkét felbontást le kell írni.

Megoldás.

1. lépés: összeg és különbség szorzata.
   (a + 1)(a - 1) = a² - 1

2. lépés: összeg négyzete, a középső tag 2 · a · 4 = 8a.
   (a + 4)² = a² + 8a + 16

3. lépés: összeadjuk, és az egynemű tagokat összevonjuk.
   a² - 1 + a² + 8a + 16 = 2a² + 8a + 15

Tehát a kifejezés összevont alakja 2a² + 8a + 15.

Amire pont jár. Az útmutató három pontot ad, lépésenként egyet: az (a + 1)(a - 1) = a² - 1 felbontásért, az (a + 4)² = a² + 8a + 16 kifejtésért és a 2a² + 8a + 15 összevont alakért. Aki kihagyja a 2 · a · 4 tagot, és (a + 4)²-et a² + 16-nak írja, az a második pontot elveszíti, és a végeredménye (2a² + 15) is hibás. Ha a hibás alakkal helyesen von össze, a harmadik pontot az útmutató általános szabálya szerint megkaphatja, mert a hibás részeredménnyel végzett helyes továbbszámolás pontot ér.

Gyakorold. Hozd egyszerűbb alakra: (x - 3)² - (x + 2)(x - 2). Az első tag x² - 6x + 9, a második x² - 4. A mínusz miatt a második zárójel minden tagjának előjele megfordul: x² - 6x + 9 - x² + 4. Az eredmény -6x + 13.

6. Mintapélda 3 - képletből egy betű (I. rész)

A feladat (2025. október, I. rész 2. feladat, 2 pont). Az a = b + c · t egyenletben a = 11, b = 5 és c = 2. Számítsd ki t értékét!

Felismerés. A képletben négy betű van, ebből hármat ismersz. Kétféleképpen indulhatsz: előbb kifejezed t-t, és utána helyettesítesz, vagy előbb helyettesítesz, és egy egyszerű egyenletet oldasz meg.

Megoldás.

1. lépés: t kifejezése a mérlegelvvel. Kivonunk b-t.
   a - b = c · t

2. lépés: osztunk c-vel (c = 2, tehát nem 0, szabad osztani).
   t = (a - b) / c

3. lépés: behelyettesítés.
   t = (11 - 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Tehát t = 3. Ellenőrzés: 5 + 2 · 3 = 11, és ez valóban az a értéke.

Amire pont jár. Az útmutató a 2 pontot a t = 3 értékért adja, a (11 - 5) / 2 felírás zárójelben áll, tehát nem feltétel. Ha 11 - 5 / 2-t számolsz zárójel nélkül, 8,5 jön ki: ez a műveleti sorrend hibája.

Gyakorold. Egy téglalap kerülete 26 cm, az egyik oldala 8 cm. A K = 2(a + b) képletből b = K / 2 - a. Behelyettesítve b = 13 - 8 = 5 cm.

7. Mintapélda 4 - szorzattá alakítás és egyszerűsítés (gyakorló)

A feladat (saját gyakorlófeladat). Alakítsd szorzattá az a)-c) kifejezéseket, a d) törtet pedig egyszerűsítsd!

a) 12x³ - 18x²      b) 25a² - 1      c) x² + 14x + 49      d) (3x² - 12) / (x² - 4x + 4)

Felismerés. Az a)-ban minden tagban van közös tényező: kiemelés. A b) két négyzet különbsége. A c) három tagú, és az első meg az utolsó tag négyzet: teljes négyzet lehet. A d)-ben a számláló és a nevező is összeg, ezért előbb mindkettőt szorzattá kell alakítani.

Megoldás.

a) A 12 és a 18 legnagyobb közös osztója 6, a közös betű x, a kisebbik kitevőn (x²).
   12x³ - 18x² = 6x²(2x - 3)

b) 25a² = (5a)² és 1 = 1², tehát két négyzet különbsége.
   25a² - 1 = (5a - 1)(5a + 1)

c) x² és 49 = 7² négyzetek, és a középső tag 14x = 2 · x · 7.
   x² + 14x + 49 = (x + 7)²

d) 1. lépés: kikötés az eredeti nevezőből. x² - 4x + 4 = (x - 2)², ez 0, ha x = 2.
      Tehát x ≠ 2.
   2. lépés: a számlálóból kiemelünk 3-at, a zárójelben két négyzet különbsége áll.
      3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x - 2)(x + 2)
   3. lépés: egyszerűsítünk az (x - 2) közös tényezővel.
      3(x - 2)(x + 2) / (x - 2)² = 3(x + 2) / (x - 2)

Tehát a) 6x²(2x - 3), b) (5a - 1)(5a + 1), c) (x + 7)², d) 3(x + 2) / (x - 2), ahol x ≠ 2.

Amire pont jár. Ez saját gyakorlófeladat, nincs hozzá hivatalos útmutató. Szorzattá alakításnál a pont a teljes felbontásért jár: a d)-ben a 3(x² - 4) még nem elég, mert a zárójel tovább bontható. Ellenőrzés a d)-hez: x = 3 helyettesítéssel az eredeti tört 15 / 1 = 15, az egyszerűsített 3 · 5 / 1 = 15.

8. Mintapélda 5 - két egymást követő egész szám (II. rész)

A feladat (2022. október, II. rész 13. b) feladat, 8 pont). Két egymást követő egész szám négyzetének összege 10 513. Melyik ez a két szám?

Felismerés. „Két egymást követő egész szám”: ha a kisebbik x, a nagyobbik x + 1. A négyzetük összege egy (x + 1)²-es egyenlet, amit a nevezetes azonossággal bontasz ki. A végén másodfokú egyenletet kapsz.

Megoldás.

1. lépés: jelölés és az egyenlet felírása. Legyen x a kisebbik szám.
   x² + (x + 1)² = 10 513

2. lépés: az összeg négyzetének kifejtése.
   x² + x² + 2x + 1 = 10 513

3. lépés: összevonás és nullára rendezés.
   2x² + 2x - 10 512 = 0

4. lépés: a másodfokú egyenlet megoldása (megoldóképlettel vagy a nullára
   rendezett egyenletből géppel, ez indoklás nélkül elfogadott lépés).
   x₁ = 72,  x₂ = -73

5. lépés: mindkét gyökből számpár lesz, mert negatív egész is megengedett.
   x = 72  esetén a két szám 72 és 73.
   x = -73 esetén a két szám -73 és -72.

6. lépés: ellenőrzés a szöveg alapján.
   72² + 73² = 5184 + 5329 = 10 513
   (-73)² + (-72)² = 5329 + 5184 = 10 513

Tehát a két szám 72 és 73, vagy -73 és -72.

Amire pont jár. Egy pont jár a jelölésért és az x² + (x + 1)² = 10 513 egyenletért, egy a kifejtésért, egy a nullára rendezésért, kettő a két gyökért, egy-egy a két számpárért, és egy az ellenőrzésért. Az útmutató megjegyzése szerint ha valaki próbálgatással találja meg a számpárokat, azokért egy-egy pontot kap, és az ellenőrzésért még egyet. A teljes pontszámhoz ilyenkor azt is meg kell indokolnia, miért nem lehet több megoldás. A negatív számpárt sokan elhagyják, pedig a feladat egész számot mond, nem pozitívat. Ha valaki az (x + 1)²-et x² + 1-nek írja, x² = 5256 jön ki, ennek nincs egész megoldása, és a feladat megakad.

Gyakorold (2022. május, II. rész 13. a) feladat, 5 pont). Oldd meg a valós számok halmazán: (x - 5)² + 7 = 2x. A különbség négyzete x² - 10x + 25, így x² - 10x + 25 + 7 = 2x. Nullára rendezve x² - 12x + 32 = 0, a gyökök x₁ = 8 és x₂ = 4. Ellenőrzés: x = 8-ra 3² + 7 = 16 = 2 · 8, x = 4-re (-1)² + 7 = 8 = 2 · 4. Az útmutató egy-egy pontot ad a kifejtésért, a nullára rendezésért és az ellenőrzésért, kettőt a két gyökért.

9. Tipikus hibák

Itt a legtöbben elrontják: (a + b)²-ből a² + b² lesz. A középső tag, a 2ab kimarad. Az (x + 6)² = x² + 12x + 36, és nem x² + 36. A négyzetre emelés összegre nem tagonként működik.

A különbség négyzetében rossz helyre kerül a mínusz. Az (x - 4)² = x² - 8x + 16. Nem x² - 16, és nem x² - 8x - 16: a harmadik tag a (-4)², vagyis +16.

Az együttható nem kerül négyzetre. A (3b)² = 9b², nem 3b², és a (2x - 1)² első tagja 4x², nem 2x². Az egész tagot emeled négyzetre.

A zárójel előtti mínusz csak az első tagra hat. A 10 - (x - 2)² helyesen 10 - (x² - 4x + 4) = -x² + 4x + 6. Előbb a zárójelben bontsd ki a négyzetet, és csak utána hagyd el a zárójelet, minden tag előjelét megfordítva.

Nem egynemű tagokat vonnak össze. A 3x² + 2x nem 5x³ és nem 5x². Csak az azonos betűs részű, azonos kitevőjű tagok vonhatók össze.

Tagot egyszerűsítenek, nem tényezőt. Az (x + 6) / 6 nem x + 1. Egyszerűsíteni csak szorzatból lehet, ezért előbb szorzattá alakítasz: (x² - 9) / (x - 3) = (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = x + 3, ahol x ≠ 3.

Elmarad a kikötés. Ha egy algebrai tört nevezőjében betű van, írd ki, milyen értékre lenne 0, és azt zárd ki. A kikötés az eredeti nevezőből jön.

Az a² + b²-et szorzattá akarják alakítani. Két négyzet összegére nincs nevezetes azonosság. Az (a + b)² kifejtésében ott a 2ab is, ezért az nem ugyanaz.

Képletből kifejezésnél hiányzik a zárójel. A t = (a - b) / c helyett a t = a - b / c egészen mást jelent, mert az osztás előbb történik, mint a kivonás.

10. Ellenőrzés

1. Helyettesíts be egy számot. Ha egy kifejezést átalakítottál, az eredeti és az új alaknak minden számra ugyanazt kell adnia. Az első mintapéldánál a = 2, b = 1 esetén az eredeti kifejezés (2 + 1)(2 - 1) + (3 · 1)² = 3 + 9 = 12, az eredmény 2² + 8 · 1² = 12. Ha a két szám eltér, biztosan hibáztál.

2. Ne 0-t és ne 1-et válassz. A 0-nál a 2ab tag eltűnik: x = 0 esetén az (x + 6)² és a hibás x² + 36 is 36-ot ad, tehát a próba nem veszi észre a hibát. Az 1-nél pedig minden hatvány 1, ezért az x² és az x³ összekeverése nem derül ki. Válassz például 2-t vagy 3-at.

3. Szorozz vissza szorzattá alakítás után. A 6x²(2x - 3) visszaszorozva 12x³ - 18x², tehát a kiemelés jó. Ha a visszaszorzás nem az eredeti kifejezést adja, a felbontás hibás.

4. Nézd meg, maradt-e még bontható zárójel. A 3(x² - 4) még nem kész szorzattá alakítás, mert az x² - 4 két négyzet különbsége.

5. Helyettesíts vissza a képletbe. Ha t = 3 jött ki, nézd meg, hogy 5 + 2 · 3 tényleg 11-e. Egyenletnél a kapott gyököket a feladat szövegébe helyettesítsd vissza: 72² + 73² = 10 513.

6. Írd ki a választ. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell, például: „A két szám 72 és 73, vagy -73 és -72.”

11. Összefoglaló

• Az összeg részei a tagok, a szorzat részei a tényezők; az egytagú kifejezés számszorzója az együttható.
• Csak egynemű tagokat vonhatsz össze: azonos betűk, azonos kitevőkön; ilyenkor az együtthatókat adod össze.
• Ha a zárójel előtt mínusz áll, a zárójel elhagyásakor minden tag előjele megfordul.
• Két többtagú szorzásakor az egyik minden tagját a másik minden tagjával szorzod, aztán összevonsz.
• (a + b)² = a² + 2ab + b² és (a - b)² = a² - 2ab + b²; a középső 2ab tag nem maradhat ki.
• (a + b)(a - b) = a² - b²: összeg és különbség szorzata a két négyzet különbsége.
• Egytagú kifejezés négyzeténél az együtthatót is négyzetre emeled: (3b)² = 9b².
• Szorzattá alakításnál előbb kiemelsz, aztán a nevezetes azonosságokat keresed; az a² + b² nem bontható velük.
• Teljes négyzetté kiegészítésnél az x együtthatójának fele kerül a zárójelbe: x² - 8x + 10 = (x - 4)² - 6.
• Algebrai törtet csak közös tényezővel egyszerűsítesz, és a nevező miatt kikötést írsz.
• Képletből egy betűt a mérlegelvvel fejezel ki: t = (a - b) / c, a számláló zárójelben.
• Az átalakítást egy behelyettesített számmal ellenőrzöd, de ne 0-val vagy 1-gyel.

12. Kulcsfogalmak

• Tag - egy összeg egyik összeadandója, az előjelével együtt.
• Tényező - egy szorzat egyik szorzandója.
• Együttható - az egytagú kifejezés számszorzója; -4a²b-ben a -4.
• Egynemű kifejezések - olyan egytagú kifejezések, amelyek betűs része (betűk és kitevőik) megegyezik; csak ezek vonhatók össze.
• Polinom - egytagú kifejezések összege, például 2x² - 5x + 3.
• Nevezetes azonosságok - (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², (a + b)(a - b) = a² - b².
• Teljes négyzet - egy összeg vagy különbség négyzete kifejtett alakban, például x² - 10x + 25 = (x - 5)².
• Teljes négyzetté kiegészítés (más néven teljes négyzetté alakítás) - az x² + px + q felírása (x + p/2)² és egy szám összegeként.
• Kiemelés - a tagok közös tényezőjének a zárójel elé írása: 6x² - 9x = 3x(2x - 3).
• Szorzattá alakítás - egy összeg felírása szorzatként, kiemeléssel vagy nevezetes azonossággal.
• Kikötés - annak kimondása, milyen értéket nem vehet fel a változó (például mert a nevező 0 lenne).
• Mérlegelv - egy egyenlet mindkét oldalán ugyanazt a műveletet végezzük; így fejezünk ki betűt képletből.
• Ne keverd össze: (a + b)² és a² + b² - az első kifejtésében ott a 2ab tag is, a kettő csak akkor egyenlő, ha ab = 0.
• Ne keverd össze: (a - b)² és a² - b² - az első a különbség négyzete, a második a négyzetek különbsége, ami (a - b)(a + b).

13. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Mondd ki a három nevezetes azonosságot!

Két tag összegének négyzete: (a + b)² = a² + 2ab + b². Két tag különbségének négyzete: (a - b)² = a² - 2ab + b². Két tag összegének és különbségének szorzata: (a + b)(a - b) = a² - b². Mindhárom minden valós a és b számra igaz. Az a és a b helyére egész tag is kerülhet, például (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.

2. Miért igaz, hogy (a + b)² = a² + 2ab + b²?

Mert (a + b)² ugyanaz, mint (a + b)(a + b). Ha minden tagot minden taggal megszorzunk, a² + ab + ba + b² jön ki. Az ab és a ba egyenlő, ezért összevonva 2ab lesz belőlük. Pozitív a és b esetén egy a + b oldalú négyzettel is látszik: két kisebb négyzetre (a² és b²) és két a × b-s téglalapra (2ab) bontható.

3. Mikor vonhatsz össze két tagot?

Csak akkor, ha egyneműek, vagyis a betűs részük pontosan ugyanaz: ugyanazok a betűk, ugyanazokon a kitevőkön. Ilyenkor az együtthatókat összeadod, a betűs rész marad: 3x²y - 5x²y = -2x²y. A 3x² és a 2x nem egynemű, ezért a 3x² + 2x nem vonható össze.

4. Hogyan alakítasz szorzattá egy kifejezést?

Előbb megnézed, van-e minden tagban közös tényező, és ha igen, kiemeled: 6x² - 9x = 3x(2x - 3). Utána a zárójelben nevezetes azonosságot keresel. Két négyzet különbségét (a - b)(a + b) alakba írod, a teljes négyzetet (a ± b)² alakba. Például 2x² - 18 = 2(x - 3)(x + 3). A végén visszaszorzással ellenőrzöd.

5. Hogyan egyszerűsítesz egy algebrai törtet?

Előbb a számlálót és a nevezőt is szorzattá alakítod. Utána a közös tényezővel egyszerűsítesz, taggal soha. Az eredeti nevezőből kikötést írsz, mert nullával nem lehet osztani. Például (x² - 9) / (x² + 6x + 9) = (x - 3) / (x + 3), ahol x ≠ -3.

6. Mit jelent a teljes négyzetté kiegészítés?

Egy x² + px + q alakú kifejezést egy teljes négyzet és egy szám összegeként írunk fel. Az x együtthatójának fele kerül a zárójelbe, és a zárójel négyzetéből keletkező fölösleges számot levonjuk. Például x² + 6x + 11 = (x + 3)² - 9 + 11 = (x + 3)² + 2. Ezt használjuk a másodfokú egyenletnél és a másodfokú függvény ábrázolásánál.

7. Hozd egyszerűbb alakra: (a + 1)(a - 1) + (a + 4)²!

Az első szorzat az összeg és a különbség szorzata: a² - 1. A második egy összeg négyzete: a² + 8a + 16. A kettő összege összevonás után 2a² + 8a + 15. Ez a 2023. októberi I. rész 8. feladata volt, és mindhárom lépésért egy-egy pont járt.

8. Hogyan oldod meg, ha két egymást követő egész szám négyzetének összege adott?

A kisebbik számot x-szel jelölöd, a nagyobbikat x + 1-gyel, és felírod az x² + (x + 1)² egyenletet. Az (x + 1)²-et a nevezetes azonossággal bontod ki, összevonsz és nullára rendezel. A kapott másodfokú egyenlet két gyöke két számpárt ad, a 10 513-nál egy pozitívat és egy negatívat. Mindkettőt meg kell adni, és a szövegbe visszahelyettesítve ellenőrizni.