Négyzetgyökös és másodfokúra visszavezethető egyenletek

Tételszám: #8 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel két egyenlettípusról szól, amelyek általában egy másodfokú egyenletre vezetnek. Az egyik a négyzetgyökös egyenlet, ahol az ismeretlen a gyökjel alatt áll, például √(2x + 7) = x - 4. A másik a másodfokúra visszavezethető egyenlet, például x⁴ - 5x² + 4 = 0, amelyet egy új ismeretlennel másodfokúvá alakítasz.

A tétel fő témája a hamis gyök. A négyzetre emelés után kapott egyenletnek olyan megoldása is lehet, amely az eredetinek nem megoldása. Ezt ki kell szűrnöd, és a 2026. októberi útmutató a kiszűrésért külön pontot adott.

A 2022 májusa és 2026 októbere közötti tíz középszintű feladatsorban megoldandó („Oldja meg”) négyzetgyökös egyenlet egyszer volt: 2026 októberében, a II. rész 13. b) feladataként, 7 pontért. Az I. részben kétszer volt egy lépésben megoldható, √x = szám alakra vezető kérdés, 2-2 pontért: 2023 októberében az x ↦ √x - 3 függvény zérushelye (x = 9), 2024 májusában az a^(1/2) = 4 (a = 16). Önálló, másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenlet (x⁴ - 5x² + 4 = 0 típus) a tíz sorban egyszer sem volt. Az új ismeretlen bevezetése viszont megjelent az útmutatóban elfogadott második megoldásként (2026. május, II. rész 13. a), 5 pont). Mindkét típus benne van a középszintű követelményben, tehát a vizsgán előfordulhat.

A másodfokú egyenlet megoldóképletét a 7. tétel, a nevezetes azonosságokat az 5. tétel tanítja. Itt ezeket eszközként használod.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

Mindkét éles feladatban (2026. május és október) az volt a kérdés, hogy oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán. A típust tehát az egyenlet alakjáról ismered fel.

Árulkodó jelek a feladat szövegében

• Az x a gyökjel alatt áll, például √(2x + 7) = x - 4. Ez négyzetgyökös egyenlet: kikötés, négyzetre emelés, másodfokú egyenlet, a hamis gyök kiszűrése.
• Csak x⁴ és x² szerepel, x³ és x nem, például x⁴ - 5x² + 4 = 0. Az x⁴ = (x²)², ezért az y = x² új ismeretlennel másodfokú egyenletet kapsz.
• Ugyanaz a kifejezés többször ismétlődik, például (x + 3)² + 2(x + 3) = 80. Az a = x + 3 új ismeretlennel rövidebb lesz a számolás.
• Minden tagban van x, és nincs konstans tag, például x³ - 5x² + 6x = 0. Kiemeled az x-et, és egy szorzat marad, aminek az egyik tényezője másodfokú.
• Szöveges feladatban „a szám kétszereséhez 9-et adva, majd gyököt vonva” vagy „a terület négyzete” típusú mondat. Ezt előbb egyenletre fordítod, és csak utána derül ki, melyik típus.

A számológép a nullára rendezett másodfokú egyenlet gyökeit indoklás nélkül, pontot érő lépésként megadhatja. A feladatlap tudnivalói szerint más gépi számítás indoklás nélküli lépésnek számít, és azért nem jár pont. A negyedfokú egyenlet gépi megoldása nincs a felsorolásban. Ezért az új ismeretlent, a négyzetre emelést és a kiszűrést le kell írnod.

3. Fogalmak és képletek

Ebben a szakaszban azt nézed meg, miért kell ellenőrizni, és milyen lépésekben oldod meg a két típust. A lépéssorokat érdemes fejből tudni, mert ezekhez kötik a részpontokat.

A négyzetgyök két tulajdonsága

A √a (a négyzetgyök a) az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a. Csak a ≥ 0 esetén értelmezett. Ebből két dolog következik, amit minden gyökös egyenletnél használsz:

1. A gyök alatt álló kifejezés nem lehet negatív.
   √(2x + 7) csak akkor értelmes, ha 2x + 7 ≥ 0, azaz x ≥ -3,5.
   Ez az ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY vizsgálata.

2. A gyök értéke nem lehet negatív, ezért a vele egyenlő oldal sem.
   √(2x + 7) = x - 4 csak akkor lehet igaz, ha x - 4 ≥ 0, azaz x ≥ 4.
   Ez az ÉRTÉKKÉSZLET vizsgálata.

Ne keverd össze: √9 = 3, és nem ±3, mert a gyök értéke nemnegatív. Az x² = 9 egyenletnek viszont két megoldása van: x = 3 és x = -3. A ± jel az egyenlet megoldásánál jelenik meg, nem a gyök értékénél.

Ekvivalens és következményegyenletre vezető átalakítás

Az ekvivalens átalakítás után a megoldáshalmaz nem változik (6. tétel). A négyzetre emelés nem ilyen. Ha A = B, akkor biztosan A² = B². Visszafelé viszont nem igaz: az A² = B²-ből csak annyi következik, hogy A = B vagy A = -B.

Az ilyen lépés után kapott egyenlet a következményegyenlet: az eredeti egyenlet minden megoldása megoldása neki is, de lehet több megoldása. Az a szám, amely a következményegyenletnek megoldása, az eredetinek nem, a hamis gyök.

Egyszerű példa: az x = 3 egyenletnek egy megoldása van. Négyzetre emelve x² = 9, ennek már kettő: 3 és -3. A -3 hamis gyök, mert az eredeti x = 3 egyenletet nem elégíti ki.

Kétféleképpen szűrheted ki a hamis gyököt:

• Kikötéssel: előre megadod, milyen x-ekre lehet igaz az eredeti egyenlet (lásd a két tulajdonságot). Ezen az intervallumon a négyzetre emelés már ekvivalens átalakítás, tehát ami a kikötésnek megfelel, az megoldás, ami nem, az hamis gyök.
• Behelyettesítéssel: minden kapott számot visszaírsz az eredeti egyenletbe, és kiszámolod a két oldalt külön.

A 2026. októberi útmutató mindkettőt elfogadta. A legbiztosabb, ha mindkettőt leírod.

A négyzetgyökös egyenlet megoldásának menete

A középszintű követelmény a √(x + b) = cx + d típusú egyenleteket kéri. A vizsgán a gyök alatt x többszöröse is állhat: a 2026. októberi feladat √(2x + 7) = x - 4 volt. A menet ugyanaz:

1. Rendezd úgy, hogy a gyök EGYEDÜL álljon az egyik oldalon.
2. Kikötés: a gyök alatti kifejezés ≥ 0, és a másik oldal ≥ 0.
3. Emeld négyzetre mindkét oldalt.
   Bal oldal: a gyök eltűnik, (√(2x + 7))² = 2x + 7.
   Jobb oldal: nevezetes azonosság, (x - 4)² = x² - 8x + 16.
4. Rendezd nullára: másodfokú egyenletet kapsz.
5. Oldd meg (megoldóképlet vagy szorzattá alakítás, 7. tétel).
6. Szűrd ki a hamis gyököt: kikötéssel vagy behelyettesítéssel.
7. Válaszolj: melyik szám (vagy számok) a megoldás.

A 3. lépésben a jobb oldalt egészében emeled négyzetre. Az (x - 4)² nem x² - 16, hanem x² - 8x + 16, mert (a - b)² = a² - 2ab + b².

Ha a gyök nem áll egyedül, előbb rendezz. A √(5x + 4) - x = 2 egyenletből x-et hozzáadva √(5x + 4) = x + 2 lesz, és csak ezt emeled négyzetre. Ha a gyök mellett más tag is marad, a négyzetre emelés után a gyök nem tűnik el.

A másik oldalra vonatkozó kikötés a legfontosabb. Ha a jobb oldal egy negatív szám, például √(x + 4) = -2, akkor az egyenletnek nincs megoldása, számolni sem kell.

Másodfokúra visszavezethető egyenlet, új ismeretlen

Az új ismeretlen bevezetése azt jelenti, hogy egy ismétlődő kifejezést egy betűvel helyettesítesz, és az egyenlet egyszerűbb alakot kap. Két gyakori eset:

x⁴ - 5x² + 4 = 0          legyen y = x²  (ekkor x⁴ = y²)
y² - 5y + 4 = 0           másodfokú egyenlet y-ra

(x + 3)² + 2(x + 3) = 80  legyen a = x + 3
a² + 2a - 80 = 0          másodfokú egyenlet a-ra

Az új ismeretlenre kapott értékek még nem a megoldások. A végén vissza kell térni x-re.

Az y = x² esetben figyelj az értékkészletre: az x² nem lehet negatív. Ezért:

• ha y > 0, akkor x² = y-ból két megoldás jön: x = √y és x = -√y;
• ha y = 0, akkor x = 0;
• ha y < 0, akkor az x² = y egyenletnek nincs valós megoldása.

Így egy x⁴ + bx² + c = 0 alakú egyenletnek 0, 1, 2, 3 vagy 4 valós megoldása lehet. Az x⁴ + 5x² + 4 = 0 egyenletnél y = -1 vagy y = -4 adódik, mindkettő negatív, tehát nincs valós megoldás.

Az a = x + 3 esetben nincs ilyen megkötés, mert az x + 3 bármilyen valós számot felvehet. Itt minden a-értékből pontosan egy x lesz: x = a - 3.

Kiemeléssel másodfokúra

Ha egy harmadfokú egyenlet minden tagjában szerepel az x, és nincs konstans tag, az x kiemelhető:

x³ - 5x² + 6x = 0
x · (x² - 5x + 6) = 0

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ezért x = 0, vagy x² - 5x + 6 = 0, amiből x = 2 vagy x = 3. A megoldások: 0, 2 és 3. Itt nincs hamis gyök, mert a kiemelés ekvivalens átalakítás.

Ne oszd el az egyenletet x-szel! Az x lehet 0, és nullával nem szabad osztani. Aki osztással kezd, elveszíti az x = 0 megoldást.

Ami már emelt szint

A követelmény szerint középszinten egy négyzetre emeléssel megoldható gyökös egyenlet jön. A két négyzetre emelést igénylő egyenlet (például amikor két gyök is van benne) emelt szintű. Ugyanígy emelt a másodfokúra visszavezethető egyenletrendszer, a négyzetgyökös egyenlőtlenség, a törtes egyenlet (x a nevezőben) és az abszolútértékes egyenlet.

4. Mintapélda 1 - gyökös egyenlet, ahol a jobb oldal szám (I. rész)

A feladat (saját gyakorlófeladat, I. részes jellegű). Oldd meg a valós számok halmazán!

a)  √(3x - 2) = 4
b)  √(x + 4) = -2

Felismerés. Mindkettőben az x a gyök alatt áll, a másik oldalon szám van. Az a) részben a jobb oldal pozitív, a b) részben negatív, és ez dönti el a feladatot.

Megoldás.

a) 1. lépés: kikötés. A gyök alatt 3x - 2 ≥ 0, azaz x ≥ 2/3.
             A jobb oldal 4, ez pozitív, ezzel nincs gond.
   2. lépés: négyzetre emeljük mindkét oldalt; a gyök eltűnik.
             3x - 2 = 16
   3. lépés: rendezés (+2, majd osztás 3-mal).
             3x = 18
             x = 6
   4. lépés: x = 6 ≥ 2/3, megfelel a kikötésnek.

b) 1. lépés: a bal oldal egy négyzetgyök, ezért nem lehet negatív.
             A jobb oldal -2, ami negatív.
   2. lépés: tehát nincs olyan x, amelyre a két oldal egyenlő.

Ellenőrzés. Az a) részben x = 6-tal a bal oldal √(18 - 2) = √16 = 4, ez egyenlő a jobb oldallal. A b) részben ha valaki mégis négyzetre emel, x + 4 = 4-ből x = 0 jön ki. Visszahelyettesítve a bal oldal √4 = 2, a jobb oldal -2: a 0 hamis gyök.

Tehát az a) egyenlet megoldása x = 6, a b) egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Amire pont jár. Ez saját feladat, hivatalos pontozása nincs. Az I. részben a keretbe a végeredmény kerül. A b) részhez hasonló feladatnál a „nincs megoldás” a válasz: az x = 0 beírása hibás.

Gyakorold (2024. május, I. rész 5. feladat, 2 pont). Add meg a értékét, ha a^(1/2) = 4. Az a^(1/2) = √a (4. tétel, ott a feladat is szerepel), tehát ez a √a = 4 gyökös egyenlet. A jobb oldal pozitív, négyzetre emelve a = 16.

5. Mintapélda 2 - négyzetgyökös egyenlet hamis gyökkel (II. rész)

A feladat (2026. október, II. rész 13. b) feladat, 7 pont). Oldd meg a valós számok halmazán:

√(2x + 7) = x - 4

Felismerés. Az x a gyök alatt is és a jobb oldalon is szerepel. A gyök már egyedül áll, tehát kikötés után négyzetre emelhetsz. A négyzetre emelés miatt hamis gyökre számíthatsz.

Megoldás.

1. lépés: kikötés.
   A gyök alatt: 2x + 7 ≥ 0, azaz x ≥ -3,5   (értelmezési tartomány)
   A jobb oldal: x - 4 ≥ 0,   azaz x ≥ 4      (a gyök értéke nem negatív)
   A kettő együtt: x ≥ 4.

2. lépés: négyzetre emeljük mindkét oldalt.
   A jobb oldalon nevezetes azonosság: (x - 4)² = x² - 8x + 16.
   2x + 7 = x² - 8x + 16

3. lépés: nullára rendezünk (mindkét oldalból kivonunk 2x-et és 7-et).
   x² - 10x + 9 = 0

4. lépés: megoldjuk a másodfokú egyenletet (megoldóképlet vagy gép).
   x = (10 ± √(100 - 36)) / 2 = (10 ± 8) / 2
   x₁ = 9,  x₂ = 1

5. lépés: kiszűrjük a hamis gyököt a kikötéssel.
   Az x ≥ 4 intervallumon ekvivalens átalakításokat végeztünk.
   x = 9 ≥ 4, ez megoldás.
   x = 1 < 4, ez hamis gyök.

Ellenőrzés. x = 9-cel a bal oldal √(18 + 7) = √25 = 5, a jobb oldal 9 - 4 = 5. Egyenlő. x = 1-gyel a bal oldal √(2 + 7) = √9 = 3, a jobb oldal 1 - 4 = -3. Nem egyenlő, tehát az 1 valóban nem megoldás. Az x = 1 a négyzetre emelt egyenletet kielégíti (9 = 9), az eredetit nem: így születik a hamis gyök.

Tehát az egyenlet egyetlen megoldása x = 9.

Amire pont jár. Az útmutató bontása:

• 1 pont a kikötésért (x ≥ -3,5 és x ≥ 4). Ez a pont akkor is jár, ha a kikötést kihagyod, de a végén mindkét gyököt behelyettesítéssel ellenőrzöd.
• 2 pont a négyzetre emelt egyenletért: 2x + 7 = x² - 8x + 16.
• 1 pont a nullára rendezett alakért: x² - 10x + 9 = 0.
• 2 pont a két gyökért: x = 1 vagy x = 9.
• 1 pont a kiszűrésért: az x = 1 nem megoldás, az x = 9 megoldás. Ezt kikötésre hivatkozva vagy behelyettesítéssel is megkaphatod.

A másodfokú egyenlet gyökeit a gép is megadhatja indoklás nélkül, mert az egyenlet nullára rendezett. A négyzetre emelést és a nullára rendezést viszont le kell írnod.

Ha a négyzetre emelésnél számolási hibát ejtesz, a hibás részeredménnyel helyesen végzett további lépésekért az útmutató általános szabálya szerint jár pont, ha a feladat lényegében nem változik meg. A hibás lépés pontja elvész, a többi megmaradhat.

6. Mintapélda 3 - előbb rendezés, és nincs hamis gyök (II. rész)

A feladat (saját gyakorlófeladat). Oldd meg a valós számok halmazán:

√(5x + 4) - x = 2

Felismerés. A gyök nem áll egyedül: mellette van a -x. Először rendezel, hogy a gyök egyedül maradjon, és csak utána emelsz négyzetre.

Megoldás.

1. lépés: x-et adunk mindkét oldalhoz, hogy a gyök egyedül álljon.
   √(5x + 4) = x + 2

2. lépés: kikötés.
   A gyök alatt: 5x + 4 ≥ 0, azaz x ≥ -0,8
   A jobb oldal: x + 2 ≥ 0, azaz x ≥ -2
   A kettő együtt: x ≥ -0,8.

3. lépés: négyzetre emelés; a jobb oldal (x + 2)² = x² + 4x + 4.
   5x + 4 = x² + 4x + 4

4. lépés: nullára rendezés.
   x² - x = 0

5. lépés: kiemeljük az x-et (nincs konstans tag).
   x · (x - 1) = 0
   x = 0  vagy  x = 1

6. lépés: kikötés. Mindkettő legalább -0,8, tehát mindkettő megoldás.

Ellenőrzés az eredeti egyenletbe. x = 0-val a bal oldal √4 - 0 = 2, ez egyenlő a jobb oldallal. x = 1-gyel a bal oldal √9 - 1 = 3 - 1 = 2, ez is egyenlő. Mindkettő jó.

Tehát az egyenletnek két megoldása van: x = 0 és x = 1.

Amire pont jár. Ez saját feladat, hivatalos pontozása nincs. A 2026. októberi útmutató a hasonló feladatnál ezekért a lépésekért adott pontot: kikötés (vagy a két gyök behelyettesítése), négyzetre emelt egyenlet, nullára rendezett alak, gyökök, kiszűrés.

A tanulság: nem minden négyzetgyökös egyenletnek van hamis gyöke. Mivel előre nem tudod, a kiszűrést (kikötéssel vagy behelyettesítéssel) minden gyökös egyenletnél el kell végezned.

Gyakorold. Oldd meg: √(x + 1) = x - 5. Kikötés: x ≥ 5. Négyzetre emelve x + 1 = x² - 10x + 25, rendezve x² - 11x + 24 = 0, ebből x = 3 vagy x = 8. A 3 kisebb 5-nél, ez hamis gyök (√4 = 2, de 3 - 5 = -2). A megoldás x = 8 (√9 = 3 és 8 - 5 = 3).

7. Mintapélda 4 - negyedfokú egyenlet új ismeretlennel (II. rész)

A feladat (saját gyakorlófeladat). Oldd meg a valós számok halmazán:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

A tíz vizsgált feladatsorban ilyen feladat nem volt, de a követelmény kéri. Ez a mintapélda a követelmény alapján készült.

Felismerés. Csak x⁴, x² és szám szerepel. Az x⁴ = (x²)², tehát az x² a közös építőelem.

Megoldás.

1. lépés: új ismeretlen: legyen y = x². Ekkor x⁴ = y², és y ≥ 0.
   y² - 5y + 4 = 0

2. lépés: megoldjuk a másodfokú egyenletet y-ra.
   y = (5 ± √(25 - 16)) / 2 = (5 ± 3) / 2
   y₁ = 4,  y₂ = 1
   Mindkettő pozitív, tehát mindkettőből lesz megoldás.

3. lépés: visszatérünk x-re.
   x² = 4  ->  x = 2  vagy  x = -2
   x² = 1  ->  x = 1  vagy  x = -1

Ellenőrzés. x = 2-vel: 16 - 20 + 4 = 0. x = 1-gyel: 1 - 5 + 4 = 0. Mivel csak páros kitevők vannak, a -2 és a -1 ugyanazt adja, mint a 2 és az 1.

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: -2, -1, 1 és 2.

Amire pont jár. Hivatalos pontozás erre a típusra a tíz sorban nincs. A 2026. májusi útmutató az új ismeretlenes megoldásnál külön pontot adott az új ismeretlen bevezetéséért a kapott másodfokú egyenlettel együtt, a gyökökért és a visszahelyettesítésért (lásd a következő mintapéldát).

Itt a leggyakoribb hiba a visszatérés elhagyása. Az y = 4 és az y = 1 még nem a megoldás: a kérdés x-re vonatkozik. A másik hiba, hogy x² = 4-ből csak x = 2-t írnak, a -2-t elfelejtik.

Gyakorold. Oldd meg: x⁴ - 10x² + 9 = 0. Az y = x² helyettesítéssel y² - 10y + 9 = 0, ebből y = 1 vagy y = 9. Visszatérve x = -3, -1, 1, 3.

8. Mintapélda 5 - ismétlődő kifejezés új ismeretlennel (II. rész)

A feladat (2026. május, II. rész 13. a) feladat, 5 pont). Oldd meg a valós számok halmazán:

(x + 3)² + 2(x + 3) = 80

Felismerés. Az (x + 3) kétszer is szerepel. Ezt egy betűvel helyettesítheted, és rövidebb másodfokú egyenletet kapsz. Kifejtéssel is megoldható, az útmutató mindkét utat teljes értékűnek fogadja el.

Megoldás (új ismeretlennel, az útmutató második megoldása).

1. lépés: legyen a = x + 3. Az a bármilyen valós szám lehet.
   a² + 2a = 80
   a² + 2a - 80 = 0

2. lépés: megoldjuk a másodfokú egyenletet a-ra.
   a = (-2 ± √(4 + 320)) / 2 = (-2 ± 18) / 2
   a₁ = 8,  a₂ = -10

3. lépés: visszatérünk x-re: x = a - 3.
   a = 8    ->  x = 5
   a = -10  ->  x = -13

Megoldás (kifejtéssel, az útmutató első megoldása). A négyzet kifejtésével x² + 8x - 65 = 0 adódik; ezt az utat a 7. tétel 2. mintapéldája dolgozza ki.

Ellenőrzés. x = 5-tel: 8² + 2 · 8 = 64 + 16 = 80. x = -13-mal: (-10)² + 2 · (-10) = 100 - 20 = 80. Mindkettő jó.

Tehát az egyenlet megoldásai: x = 5 és x = -13.

Amire pont jár. Az új ismeretlenes úton: 1 pont az a = x + 3 bevezetéséért és az a² + 2a - 80 = 0 alakért, 2 pont az a = 8 vagy a = -10 eredményért, 1 pont az x = 5 vagy x = -13 visszahelyettesítésért, és 1 pont az ellenőrzésért. Az ellenőrzés pontja behelyettesítésért vagy az ekvivalens átalakításokra hivatkozásért is jár.

Itt nincs hamis gyök, mert nem volt négyzetre emelés, és az a = x + 3 helyettesítésnek nincs megkötése. Ez a különbség az y = x²-tel szemben, ahol az y nem lehet negatív.

9. Mintapélda 6 - szöveges feladat, két részben (II. rész)

A feladat (saját gyakorlófeladat, II. részes jellegű).

a) Egy szám kétszereséhez 9-et adunk, és az összegből négyzetgyököt vonunk. Ugyanazt kapjuk, mintha a számból 3-at elvennénk. Melyik ez a szám?

b) Egy négyzet oldala a cm. A négyzet területének (cm²-ben mért értékének) négyzete 12-vel több, mint maga a terület. Mekkora a négyzet oldala?

Felismerés. Az a) rész a gyököt kéri: négyzetgyökös egyenlet lesz. A b) részben a terület a², a terület négyzete a⁴: negyedfokú egyenlet, új ismeretlennel. Mindkét részben a kapott számokat a szöveggel is össze kell vetni.

Megoldás.

a) 1. lépés: jelöljük a számot x-szel.
             „kétszereséhez 9-et adunk, gyököt vonunk”: √(2x + 9)
             „a számból 3-at elveszünk”: x - 3
             √(2x + 9) = x - 3
   2. lépés: kikötés. 2x + 9 ≥ 0 és x - 3 ≥ 0, együtt x ≥ 3.
   3. lépés: négyzetre emelés, (x - 3)² = x² - 6x + 9.
             2x + 9 = x² - 6x + 9
   4. lépés: nullára rendezés és kiemelés.
             x² - 8x = 0
             x · (x - 8) = 0
             x = 0  vagy  x = 8
   5. lépés: kiszűrés. A 0 kisebb 3-nál: hamis gyök. A 8 megfelel.

b) 1. lépés: a terület a² (cm²), ennek négyzete a⁴. A feltétel:
             a⁴ = a² + 12
             a⁴ - a² - 12 = 0
   2. lépés: új ismeretlen: y = a² (a terület), y ≥ 0.
             y² - y - 12 = 0
             y = 4  vagy  y = -3
   3. lépés: az y = -3 nem lehet, mert a² nem negatív (és terület sem).
   4. lépés: a² = 4-ből a = 2 vagy a = -2.
             Az oldalhossz pozitív, ezért a = -2 nem felel meg a szövegnek.
             a = 2

Ellenőrzés a szöveg alapján. Az a) részben: 8 kétszerese 16, plusz 9 az 25, ennek gyöke 5. A 8-ból 3-at elvéve szintén 5. A b) részben: a 2 cm oldalú négyzet területe 4 cm², ennek négyzete 16, és 16 valóban 12-vel több 4-nél.

Tehát a keresett szám a 8, a négyzet oldala pedig 2 cm.

Amire pont jár. Ez saját feladat, hivatalos pontozása nincs. Egy hasonló szöveges feladatnál (2026. május, II. rész 13. b)) az útmutató külön pontot adott az ismeretlenek jelöléséért és az egyenletek felírásáért, és külön pontot a szöveg alapján végzett ellenőrzésért. A b) részben két számot kell kiszűrnöd, két különböző okból: az y = -3-at az értékkészlet miatt (a² nem negatív), az a = -2-t a szöveg miatt (az oldalhossz pozitív).

10. Tipikus hibák

Itt a legtöbben elrontják: a négyzetre emelés után nem ellenőriznek. A 2026. októberi feladatban az x = 1 kijön a másodfokú egyenletből, de az eredetit nem elégíti ki. Aki bent hagyja, a kiszűrés pontját elveszíti, és rossz a válasza.

A négyzetre emelt egyenletbe helyettesítenek vissza. Az x = 1 a 2x + 7 = x² - 8x + 16 egyenletet kielégíti (9 = 9). A hamis gyök épp ezért hamis: ellenőrizni az eredeti egyenletbe kell, ahol √9 = 3, de 1 - 4 = -3.

A jobb oldalt tagonként emelik négyzetre. Az (x - 4)² nem x² - 16, és nem x² + 16. A helyes alak x² - 8x + 16, mert (a - b)² = a² - 2ab + b².

Négyzetre emelnek, mielőtt a gyököt egyedül hagynák. A √(5x + 4) - x = 2 egyenletnél a bal oldal négyzete nem 5x + 4 - x², hanem egy háromtagú kifejezés, amelyben a gyök megmarad. Előbb rendezz: √(5x + 4) = x + 2.

A gyök értékét ±-nak veszik. A √9 = 3, nem ±3. Ezért nincs megoldása a √(x + 4) = -2 egyenletnek.

Az új ismeretlennél megállnak. Az y = 4 vagy a = 8 nem a megoldás. Vissza kell térni x-re: x² = 4-ből x = ±2, a = 8-ból x = 5.

Az x² = 4-ből csak a pozitív gyököt írják. Az x = -2 is megoldás, mert (-2)² = 4. A negyedfokú egyenletnek így lehet négy megoldása.

Negatív y-ból is gyököt vonnának. Az x² = -3 egyenletnek nincs valós megoldása. Az ilyen y-t el kell vetni, és ezt egy mondatban le is kell írni.

Kiemelés helyett x-szel osztanak. Az x³ - 5x² + 6x = 0 egyenletet x-szel osztva elvész az x = 0 megoldás.

11. Ellenőrzés

1. Helyettesíts vissza az eredeti egyenletbe, és számold ki a két oldalt külön. A √(2x + 7) = x - 4 egyenletnél x = 9-cel a bal oldal 5, a jobb oldal 5. x = 1-gyel a bal oldal 3, a jobb oldal -3: ez hamis gyök.

2. Nézd meg a kikötést. Ha leírtad, hogy x ≥ 4, akkor minden 4-nél kisebb eredmény hamis gyök. Ezen az intervallumon a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás, és a 2026. októberi útmutató a kikötésre hivatkozást is elfogadta ellenőrzésként.

3. Gyöknél nézd az előjelet. Ha a gyökkel egyenlő oldal az adott x-re negatív, az x biztosan nem megoldás. Ezt fejben is gyorsan látod: x = 1-nél az x - 4 negatív.

4. Új ismeretlennél ellenőrizd mindkét szintet. Először azt, hogy az y-ra kapott értékek kielégítik-e az y-os egyenletet. Utána azt, hogy az x-ek kielégítik-e az eredetit. Az x⁴ - 5x² + 4 = 0 egyenletnél x = 2-vel 16 - 20 + 4 = 0.

5. Számold meg a megoldásokat. Az y = x² helyettesítésnél minden pozitív y két x-et ad, ellentett párt. Ha egy x⁴ + bx² + c = 0 alakú egyenletnél páratlan számú nem nulla megoldást kaptál, valamelyik ellentett kimaradt.

6. Szöveges feladatnál vesd össze a szöveggel. Az oldalhossz pozitív, egy darabszám pozitív egész, és a kapott számnak a szöveg minden feltételét teljesítenie kell (mint a 6. mintapélda ellenőrzésénél).

7. Írj szöveges választ. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „Az egyenlet megoldása x = 9.” Ha nincs megoldás, azt is mondd ki: „Az egyenletnek nincs valós megoldása.”

12. Összefoglaló

• A √a az a nemnegatív szám, amelynek négyzete a; csak a ≥ 0-ra értelmezett, és √9 = 3, nem ±3.
• Gyökös egyenletnél két kikötés van: a gyök alatti kifejezés ≥ 0 (értelmezési tartomány), és a gyökkel egyenlő oldal ≥ 0 (értékkészlet).
• A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás: következményegyenletet ad, amelynek lehet hamis gyöke.
• A hamis gyököt a kikötéssel vagy az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel szűröd ki; a négyzetre emelt egyenletbe helyettesítve nem derül ki.
• A menet: gyök egyedül, kikötés, négyzetre emelés, nullára rendezés, másodfokú egyenlet, kiszűrés, válasz.
• A 2026. októberi √(2x + 7) = x - 4 egyenletből x = 1 vagy x = 9 jön ki; az 1 hamis gyök, a megoldás x = 9.
• Nem minden gyökös egyenletnek van hamis gyöke (√(5x + 4) = x + 2: 0 és 1 is jó), de a kiszűrést minden gyökös egyenletnél el kell végezni.
• Az x⁴ + bx² + c = 0 típusú egyenletet az y = x² új ismeretlennel másodfokúvá alakítod; negatív y-ból nincs megoldás, pozitív y-ból kettő: x = ±√y.
• Ismétlődő kifejezésnél (például x + 3) is bevezethetsz új ismeretlent; itt nincs előjel-megkötés, és a végén vissza kell térni x-re.
• Ha minden tagban van x, és nincs konstans tag, emeld ki az x-et; osztani vele nem szabad, mert elveszik az x = 0.
• A tíz vizsgált feladatsorban megoldandó négyzetgyökös egyenlet egyszer volt (2026. október, 7 pont), önálló negyedfokú egyenlet egyszer sem; az I. részben kétszer volt √x = szám alakra vezető, 2 pontos kérdés.
• Csak emelt szint: két négyzetre emelést igénylő egyenlet, négyzetgyökös egyenlőtlenség, másodfokúra visszavezethető egyenletrendszer, törtes és abszolútértékes egyenlet.

13. Kulcsfogalmak

• Négyzetgyök (√a) - az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a; csak a ≥ 0 esetén értelmezett.
• Négyzetgyökös egyenlet - olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen a gyökjel alatt is szerepel; középszinten √(x + b) = cx + d típusú.
• Értelmezési tartomány vizsgálata - megnézed, mely x-ekre értelmes az egyenlet (például a gyök alatt ne legyen negatív szám).
• Értékkészlet vizsgálata - megnézed, milyen értéket vehet fel egy oldal (például a gyök nem negatív, az x² sem).
• Ekvivalens átalakítás - olyan lépés, amely után a megoldáshalmaz nem változik.
• Következményegyenlet - átalakítás után kapott egyenlet, amelynek az eredeti minden megoldása megoldása, de több megoldása is lehet.
• Hamis gyök - a következményegyenlet olyan megoldása, amely az eredeti egyenletnek nem megoldása.
• Kikötés - a megoldás előtt leírt feltétel arra, milyen x lehet egyáltalán megoldás (például x ≥ 4).
• Új ismeretlen bevezetése - egy ismétlődő kifejezést (x², x + 3) egy új betűvel helyettesítesz, és egyszerűbb egyenletet kapsz.
• Másodfokúra visszavezethető egyenlet - magasabb fokú egyenlet, amely új ismeretlennel vagy kiemeléssel másodfokú egyenletre vezet.
• Visszahelyettesítés - az új ismeretlenre kapott értékekből kiszámolod az eredeti ismeretlent.
• Ne keverd össze: √9 és az x² = 9 megoldásai - √9 = 3, de az x² = 9 egyenletnek két megoldása van, a 3 és a -3.
• Ne keverd össze: y = x² és a = x + 3 - az y nem lehet negatív, az a bármilyen valós szám lehet.

14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Miért kell ellenőrizni a négyzetgyökös egyenlet megoldását?

Mert a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás. Ha A = B, akkor A² = B², de az A² = B²-ből csak az következik, hogy A = B vagy A = -B. A négyzetre emelt egyenletnek ezért lehet olyan megoldása, amely az eredetinek nem az: ez a hamis gyök. A √(2x + 7) = x - 4 egyenletnél az x = 1 ilyen, mert √9 = 3, de 1 - 4 = -3.

2. Milyen kikötéseket írsz fel egy √(x + b) = cx + d típusú egyenletnél?

Kettőt. Az első az értelmezési tartomány: a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív, tehát x + b ≥ 0. A második az értékkészlet: a gyök értéke nem negatív, ezért a vele egyenlő oldal sem, tehát cx + d ≥ 0. A kettő együtt adja azt az intervallumot, ahol megoldás lehet. Ezen az intervallumon a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás.

3. Hogyan oldod meg a √(2x + 7) = x - 4 egyenletet?

Kikötés: x ≥ -3,5 és x ≥ 4, együtt x ≥ 4. Négyzetre emelve 2x + 7 = x² - 8x + 16, nullára rendezve x² - 10x + 9 = 0. Ebből x = 1 vagy x = 9. Az x = 1 nem felel meg a kikötésnek, ez hamis gyök. Az egyetlen megoldás x = 9, mert √25 = 5 és 9 - 4 = 5.

4. Mit csinálsz, ha a gyök nem áll egyedül az egyenlet egyik oldalán?

Előbb rendezem úgy, hogy a gyök egyedül maradjon. A √(5x + 4) - x = 2 egyenletből x-et hozzáadva √(5x + 4) = x + 2 lesz. Csak ezután emelek négyzetre, mert különben a gyök nem tűnik el. Itt x² - x = 0 jön ki, a megoldások 0 és 1, és mindkettő jó.

5. Hogyan oldasz meg egy x⁴ - 5x² + 4 = 0 típusú egyenletet?

Bevezetem az y = x² új ismeretlent, így y² - 5y + 4 = 0 lesz, ebből y = 4 vagy y = 1. Az y nem lehet negatív, mert x² ≥ 0; itt mindkét érték pozitív. Visszatérek x-re: x² = 4-ből x = ±2, x² = 1-ből x = ±1. Az egyenletnek négy megoldása van: -2, -1, 1, 2.

6. Mi a teendő, ha az új ismeretlenre negatív érték jön ki?

Ha y = x², akkor a negatív y-t elvetem, mert egy valós szám négyzete nem lehet negatív, így abból nincs megoldás. Az x⁴ + 5x² + 4 = 0 egyenletnél mindkét y negatív, ezért nincs valós megoldás. Ha viszont az új ismeretlen a = x + 3, akkor negatív érték is jó, mert az x + 3 negatív is lehet. A 2026. májusi feladatban az a = -10-ből x = -13 lett, és ez megoldás.

7. Miért nem szabad x-szel osztani az x³ - 5x² + 6x = 0 egyenletben?

Mert az x lehet 0, és nullával nem szabad osztani. Ha osztok, elveszítem az x = 0 megoldást. Helyette kiemelem az x-et: x(x² - 5x + 6) = 0. Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért x = 0, x = 2 vagy x = 3.