Exponenciális egyenletek, logaritmus, exponenciális folyamatok
Tételszám: #9 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)
1. Bevezetés
Ez a tétel azokról a feladatokról szól, ahol az ismeretlen a kitevőben áll, például 2ˣ = 8 vagy 8 · 1,01ⁿ = 12. Ha a két oldal azonos alapra hozható, a kitevőket hasonlítod össze. Ha nem, a logaritmus segít: ez éppen a keresett kitevő. A harmadik rész az exponenciális folyamat: egy mennyiség minden időegység alatt ugyanannyiszorosára változik, például évente 1%-kal nő vagy havonta 1%-kal csökken.
Az írásbelin kétféle feladatban találkozol vele. Az I. részben rövid, 2 pontos feladatként: ilyen volt egy exponenciális egyenlet azonos alapra hozással (2025. május, 3. feladat), a 10ˣ = 30 megoldása (2022. október, 7. feladat) és egy logaritmus értéke (2024. május, 8. feladat). A II. részben egy szöveges, képlettel vagy százalékkal megadott folyamatként, ahol gyakran előbb behelyettesítesz, aztán azt kérdezik, mikor éri el a mennyiség a megadott értéket. Az itt feldolgozott II. részes feladatrészek 2 és 6 pont közöttiek.
A tétel a 4. tételre épül: a hatványozás azonosságai és a törtkitevő ott vannak. A mértani sorozat a 13. tétel, a kamatos kamat a 14. tétel, az exponenciális függvény ábrázolása a 12. tétel. Itt ezekből csak annyi kell, amennyi az egyenlethez és a folyamathoz.
2. Mire jó ez, mikor ismerd fel
Az exponenciális egyenletet arról ismered fel, hogy az ismeretlen kitevő helyzetben van. Az exponenciális folyamatot arról, hogy a szöveg ugyanannyiszoros vagy ugyanannyi százalékos változásról beszél.
Árulkodó jelek a feladat szövegében
- x vagy n a kitevőben, és a másik oldalon ugyanannak az alapnak a hatványai állnak. Ilyenkor azt az oldalt egyetlen hatvánnyá alakítod, és a kitevőket összeveted.
- „Egy szám 2-es alapú logaritmusa 6.” Ez a logaritmus definíciója: a szám 2⁶ = 64.
- „Adja meg x értékét, ha 10ˣ = 30.” Itt nincs közös alap, ezért a megoldás egy logaritmus: x = lg 30.
- „Évente 1%-kal nő”, „havonta 1%-kal csökken”, „óránként a kétszeresére nő”. Ez exponenciális folyamat: minden időegységben ugyanazzal a számmal szorzol.
- Egy képlet, amelynek kitevőjében az idő áll, például b(p) = 6 · 1,015ᵖ vagy p(h) = p(0) · 10^(-0,054h). Ilyenkor gyakran előbb behelyettesítést kérnek, utána egy egyenletet.
- „Melyik évben”, „hányadik órában”, „hány hónap alatt” éri el, csökken a felére. Ez exponenciális egyenlet, amit logaritmussal oldasz meg, és a végén a szöveghez igazítod a kerekítést.
- „Felezési idő”, „a felére csökken”. Ez exponenciális csökkenés: a felezési idő alatt a mennyiség a felére, vagyis az 1/2-szeresére változik.
A számológép itt sokat segít. A feladatlap tudnivalói szerint a hatványozás és a logaritmus (log) gépi kiszámolása indoklás nélkül elfogadott lépés. Az egyenletet viszont, amiből a gép számol, le kell írnod, mert a felírás külön pontot ér.
3. Fogalmak és képletek
Ebben a szakaszban a módszereket ismered meg, a mintapéldák ezekre épülnek.
Az exponenciális függvény, amire az egyenlet épül
Az exponenciális függvény az x ↦ aˣ hozzárendelés, ahol a > 0 és a ≠ 1. Az ábrázolását a 12. tétel tanítja. Az egyenletekhez három tulajdonsága kell:
- Minden értéke pozitív. Egy pozitív szám bármely hatványa pozitív, ezért a 2ˣ = -4 egyenletnek nincs megoldása.
- Ha a > 1, szigorúan nő; ha 0 < a < 1, szigorúan csökken. A 2ˣ nagyobb x-hez nagyobb értéket ad, a 0,5ˣ kisebbet.
- Kölcsönösen egyértelmű. Két különböző kitevőhöz két különböző érték tartozik. Ezért ha 2ˣ = 2³, akkor x = 3.
Az a = 1 eset azért kimarad, mert 1ˣ = 1 minden x-re, így abból nem lehet kitevőt visszakeresni.
Exponenciális egyenlet azonos alapra hozással
Ha az egyenlet két oldala ugyanannak a számnak a hatványaként felírható, a kitevők egyenlők. Ehhez a hatványozás azonosságai kellenek (4. tétel): azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevőket összeadod, osztásakor kivonod, hatvány hatványozásakor összeszorzod.
A menet:
1. Írd fel mindkét oldalt ugyanannak az alapnak a hatványaként.
Hasznos alakok: 8 = 2³, 1/2 = 2⁻¹, 0,25 = 1/4 = 2⁻², 9 = 3², 1 = 2⁰.
2. Vond össze egyetlen hatvánnyá az azonosságokkal.
3. Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért a kitevők egyenlők.
4. Oldd meg a kitevőkre kapott egyenletet.
Példák:
3ˣ = 81 81 = 3⁴, tehát x = 4
5^(x - 1) = 1/25 1/25 = 5⁻², tehát x - 1 = -2, x = -1
9ˣ = 27 9ˣ = (3²)ˣ = 3^(2x) és 27 = 3³, tehát 2x = 3, x = 1,5
(1/2)ˣ = 8 (1/2)ˣ = 2^(-x) és 8 = 2³, tehát -x = 3, x = -3
Ha a hatvány mellett egy szám is áll, előbb azt viszed át, és csak utána hozol azonos alapra. A 2025. májusi II. rész 15. b) feladatában a 2ˣ + 1 = 1,25 egyenletből 2ˣ = 0,25 = 2⁻², tehát x = -2. A teljes megoldást, az útmutató indoklásával és pontozásával, a 11. tétel 4. mintapéldája dolgozza ki.
A logaritmus fogalma
A logaritmus egy kitevő. A hatványozásnál az alapot és a kitevőt ismered, és a hatványt keresed. A logaritmusnál az alapot és a hatványt ismered, és a kitevőt keresed.
Definíció. Ha a > 0, a ≠ 1 és b > 0, akkor az a alapú logaritmus b (jele log_a b) az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk:
log_a b = c pontosan akkor, ha aᶜ = b
Példák: log₂ 8 = 3, mert 2³ = 8. A log₃ (1/9) = -2, mert 3⁻² = 1/9. A log₅ 1 = 0, mert 5⁰ = 1.
A kikötések okai: a törtkitevős hatványt csak pozitív alapra értelmezzük (4. tétel), az 1-es alap minden hatványa 1, és pozitív alap hatványa csak pozitív lehet. Ezért negatív számnak és a nullának nincs logaritmusa. A logaritmus értéke viszont lehet negatív és nulla is.
A 10-es alapú logaritmus jele lg: lg b = log₁₀ b. Például lg 1000 = 3, mert 10³ = 1000, és lg 0,01 = -2, mert 10⁻² = 0,01. A számológépen ez általában a log gomb.
A definícióból két dolog azonnal következik. Az egyik: log_a a = 1 és log_a 1 = 0. A másik: log_a (aᵏ) = k, vagyis az alap k-adik hatványának logaritmusa éppen k. A log₂ 128 például 7, mert 128 = 2⁷.
Logaritmus kiszámolása 10-es alapú logaritmussal
A követelmény kifejezetten kéri, hogy tetszőleges alapú logaritmust 10-es alapú logaritmus segítségével ki tudj számolni. A képlet:
log_a b = lg b / lg a
A számlálóba a szám (b), a nevezőbe az alap (a) logaritmusa kerül. Példák, a gép kerekített kijelzésével:
log₂ 10 = lg 10 / lg 2 = 1 / 0,30103 ≈ 3,322
log₃ 20 = lg 20 / lg 3 ≈ 1,30103 / 0,47712 ≈ 2,727
Ellenőrizni a definícióval tudod: 3^2,727 ≈ 20. Ha a gépeden van külön gomb tetszőleges alapú logaritmusra, az is jó. Az lg b / lg a viszont minden olyan gépen működik, amin van 10-es alapú logaritmus.
A logaritmus azonosságai (szorzat, hányados és hatvány logaritmusa, az áttérés szabálya mint bizonyított azonosság) és a logaritmusos egyenlet már emelt szintű anyag. Középszinten a definíció és a fenti kiszámolás kell.
Ha nem hozható azonos alapra: aˣ = b megoldása
A 10ˣ = 30 egyenletben a 30 nem egész kitevős hatványa a 10-nek. A definíció szerint viszont x éppen az a kitevő, amelyre 10-et emelve 30-at kapunk:
10ˣ = 30 -> x = lg 30 ≈ 1,477
3ˣ = 20 -> x = log₃ 20 = lg 20 / lg 3 ≈ 2,727
Általában: ha a > 0, a ≠ 1 és b > 0, akkor az aˣ = b egyenlet egyetlen megoldása x = log_a b = lg b / lg a. Ha b ≤ 0, nincs megoldás, mert aˣ mindig pozitív.
A szöveges feladatokban az egyenlet sokszor c · aˣ = d alakú. Ilyenkor előbb osztasz c-vel, hogy a hatvány egyedül maradjon, és csak utána jön a logaritmus:
6 · 1,015ᵖ = 600 |: 6
1,015ᵖ = 100
p = lg 100 / lg 1,015 ≈ 309,3
A 2024. októberi útmutató ezt a három sort külön-külön 1-1 ponttal értékeli, és a szöveges válaszért is jár egy pont (4. mintapélda).
Exponenciális folyamat: növekedés és csökkenés
Exponenciális egy folyamat, ha egy mennyiség egyenlő időközönként ugyanannyiszorosára változik. Ha a kezdőérték N₀, és egy időegység alatt q-szorosára változik, akkor t időegység múlva:
N(t) = N₀ · qᵗ
A q a növekedési (vagy csökkenési) tényező, a szorzó; ugyanaz, mint a 10. tétel százalékos szorzója. Százalékos változásból így kapod meg:
p%-os növekedés: q = 1 + p/100 évi 1% növekedés: q = 1,01
p%-os csökkenés: q = 1 - p/100 havi 1% csökkenés: q = 0,99
Ha q > 1, a mennyiség nő, ha 0 < q < 1, csökken. Visszafelé is működik: ha egy képletben évente q = 1,27 a szorzó, a mennyiség évente 1,27-szeresére, vagyis 27%-kal nő. A q = 0,85 évi 15%-os csökkenést jelent.
A kezdőérték a t = 0-hoz tartozó érték: N(0) = N₀ · q⁰ = N₀. A b(p) = 6 · 1,015ᵖ képletben (b ezer darabban) a mérés kezdetén 6 ezer baktérium volt.
A t időegység alatti teljes változás nem a százalékok összege. Havi 1%-os csökkenésnél két év (24 hónap) alatt a szorzó 0,99²⁴ ≈ 0,786. Ez kb. 21,4%-os csökkenés, nem 24%. A kamatos kamat ugyanez a modell pénzre, azt a 14. tétel tárgyalja.
Felezési idő és kétszereződés
A felezési idő az az idő, amely alatt egy csökkenő mennyiség a felére csökken. Ha a felezési idő T, akkor t idő múlva:
m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T)
Minden T idő alatt egyszer felezel: 2T alatt a negyedére, 3T alatt a nyolcadára csökken. Ugyanígy, ha egy mennyiség T időnként megkétszereződik, akkor N(t) = N₀ · 2^(t/T).
Példa (kitalált feladat, nem valós gyógyszeradat). Egy gyógyszer hatóanyagának mennyisége a szervezetben 6 óránként a felére csökken, és kezdetben 400 mg. 24 óra az négy felezési idő, tehát 400 · (1/2)⁴ = 25 mg marad.
Ha a felezési idő nincs megadva, hanem a százalékos csökkenés, akkor egyenletből kapod meg. Havi 1%-os csökkenésnél a felezéshez 0,99ⁿ = 1/2 kell, és ebből n = lg 0,5 / lg 0,99 ≈ 68,97. Ezt az 5. mintapélda végigviszi.
Lineáris vagy exponenciális modell
A két modell abban különbözik, mit ad hozzá egy időegység:
- Lineáris modell: minden időegységben ugyanannyival nő vagy csökken. Képlete N(t) = N₀ + d · t. Ez számtani sorozat.
- Exponenciális modell: minden időegységben ugyanannyiszorosára változik. Képlete N(t) = N₀ · qᵗ. Ez mértani sorozat.
A feladat szövege eldönti, melyik kell. A „havonta 50 000 forintot veszít az értékéből” lineáris, a „havonta 1%-ot veszít az értékéből” exponenciális. Az első esetben a havi csökkenés mindig ugyanannyi forint, a másodikban mindig az aktuális érték 1%-a, ezért egyre kevesebb forint.
„Melyik évben éri el?”: a kerekítés iránya
A logaritmusból általában nem egész szám jön ki, a kérdés viszont egy évre, órára vagy hónapra vonatkozik. A gondolatmenet: a kapott n azt mutatja, mikor éri el a mennyiség pontosan a határt. Előtte még nem érte el, utána már túllépte.
n ≈ 40,75 év 2022 vége után -> a 41. évben, azaz 2063-ban
p ≈ 309 perc -> 5 óra = 300 perc, 6 óra = 360 perc,
tehát a 6. órában
Növekvő folyamatnál, ha azt kérdezik, mikor éri el, a nem egész n-et felfelé kerekíted a következő egészre. Ugyanez igaz csökkenő folyamatra, ha azt kérdezik, mikor csökken egy határ alá. A biztos út: helyettesítsd be a két szomszédos egészet. A 2023. májusi feladatban 8 · 1,01⁴⁰ ≈ 11,91, ez még kevesebb 12-nél, a 8 · 1,01⁴¹ ≈ 12,03 viszont már több.
A kezdő időpontot írd le magadnak. Ha a népesség 2022 végén 8 milliárd, akkor n év múlva a 2022 + n. év végén tartunk, ezért n = 41 a 2063-as év.
4. Mintapélda 1 - kitevő azonos alapra hozással (I. rész)
A feladat (2025. május, I. rész 3. feladat, 2 pont). Oldd meg a valós számok halmazán: 2 · (2²)³ / 2⁴ = 2ˣ.
Felismerés. Az ismeretlen a kitevőben van, és a bal oldalon csak 2-hatványok állnak. A bal oldalt egyetlen 2-hatvánnyá alakítod a hatványozás azonosságaival, és a kitevőket összeveted.
Megoldás.
1. lépés: hatvány hatványa, a kitevőket összeszorozzuk.
(2²)³ = 2⁶
2. lépés: a számlálóban azonos alapú hatványok szorzata,
a kitevőket összeadjuk (a 2 az 2¹).
2 · 2⁶ = 2⁷
3. lépés: azonos alapú hatványok hányadosa, a kitevőket kivonjuk.
2⁷ / 2⁴ = 2³
4. lépés: 2³ = 2ˣ, és az exponenciális függvény kölcsönösen
egyértelmű, ezért a kitevők egyenlők.
x = 3
Ellenőrzés. A bal oldal értéke 2 · 64 / 16 = 8, és 2³ = 8.
Tehát az egyenlet megoldása x = 3.
Amire pont jár. Az útmutató az x = 3 válaszért adja a 2 pontot, részpontot nem sorol fel. Az I. részben a keretbe a végeredmény kerül.
5. Mintapélda 2 - logaritmus a definícióból (I. rész)
A feladat (2024. május, I. rész 8. feladat, 2 pont). Egy szám 2-es alapú logaritmusa 6. Mennyi a szám kétszeresének a 2-es alapú logaritmusa?
Felismerés. A „2-es alapú logaritmusa 6” a definíció szerint azt jelenti, hogy 2-t a 6. hatványra emelve kapod a számot. Azonosság nem kell, elég a definíciót kétszer használni.
Megoldás.
1. lépés: a szám a definícióból.
log₂ x = 6, tehát x = 2⁶ = 64
2. lépés: a szám kétszerese.
2x = 128
3. lépés: a logaritmus a definícióból. 128 = 2⁷.
log₂ 128 = 7
Ellenőrzés. 2⁷ = 128, és 128 valóban a 64 kétszerese.
Tehát a szám kétszeresének 2-es alapú logaritmusa 7.
Amire pont jár. Az útmutató a 7-es válaszért adja a 2 pontot; zárójelben azt is leírja, hogy az eredeti szám a 64.
Gyakorold (2022. október, I. rész 7. feladat, 2 pont). Add meg x értékét három tizedesjegyre kerekítve, ha 10ˣ = 30. A 30 nem egész kitevős hatványa a 10-nek, ezért a definícióból x = lg 30 ≈ 1,4771, kerekítve x ≈ 1,477. Az útmutató szerint ha nem kerekítesz, vagy rosszul kerekítesz, legfeljebb 1 pont jár.
6. Mintapélda 3 - légnyomás a magasságban (II. rész)
A feladat (2025. május, II. rész 18. a) és b) feladat, 3 + 5 pont). A tengerszint felett h kilométer magasságban mérhető p(h) légnyomás jól közelíthető a p(h) = p(0) · 10^(-0,054h) képlettel. Itt p(0) a tengerszinten mérhető légnyomás, 101 325 Pa (a Pa, azaz pascal, a légnyomás mértékegysége).
a) A Mount Everest 8848 méter magas. Mekkora a légnyomás a csúcsán a képlet szerint?
b) A képlet alapján hány méter magasságban lesz a légnyomás 60 000 Pa? A választ 100 méterre kerekítve add meg!
Felismerés. Képlettel adott exponenciális folyamat. Az a) részben az ismert h-t helyettesíted be. A b) részben a légnyomás ismert, és h a kitevőben áll: ez exponenciális egyenlet, amit lg-gel oldasz meg. Figyelj a mértékegységre: a képletben h kilométerben van.
Megoldás, a) rész.
1. lépés: átváltás, mert a képlet kilométert vár.
8848 m = 8,848 km
2. lépés: behelyettesítés.
p(8,848) = 101 325 · 10^(-0,054 · 8,848) ≈ 33 723 Pa
Megoldás, b) rész.
1. lépés: az egyenlet felírása.
60 000 = 101 325 · 10^(-0,054h)
2. lépés: osztás 101 325-tel, hogy a hatvány egyedül maradjon.
10^(-0,054h) = 60 000 / 101 325 ≈ 0,5922
3. lépés: a logaritmus definíciója: a kitevő a 10-es alapú logaritmus.
-0,054h = lg (60 000 / 101 325) ≈ -0,2276
4. lépés: osztás -0,054-dal.
h ≈ 4,214 km
5. lépés: átváltás méterbe és kerekítés 100 méterre.
4214 m ≈ 4200 m
Ellenőrzés. 101 325 · 10^(-0,054 · 4,214) ≈ 60 000. Becslés is segít: 4200 m alacsonyabb a Mount Everestnél, ezért ott nagyobb a légnyomás, mint a csúcson mért 33 723 Pa. A 60 000 Pa valóban nagyobb.
Tehát a Mount Everest csúcsán a légnyomás kb. 33 723 Pa, és a képlet szerint kb. 4200 méter magasságban lesz a légnyomás 60 000 Pa.
Amire pont jár. Az a) részben 1 pont az átváltásért (8,848 km), 1 a behelyettesítésért és 1 a 33 723 Pa-ért. A b) rész öt darab 1 pontos lépés: az egyenlet felírása, a 10^(-0,054h) ≈ 0,592 alak, a -0,054h = lg 0,592 lépés, a h km-ben, végül a 4200 méteres válasz. Az utolsó pont nem jár, ha nem kerekítesz, vagy rosszul kerekítesz. Az útmutató a kerekített lg 0,592 ≈ -0,2277 értékkel h ≈ 4,22 km-t kap. Pontosabban számolva 4,214 km jön ki, de a 100 méterre kerekített válasz mindkét úton 4200 m.
7. Mintapélda 4 - hányadik órában? (II. rész)
A feladat (2024. október, II. rész 13. b) és c) feladat, 2 + 4 pont). A baktériumok számát az első néhány órában a b(p) = 6 · 1,015ᵖ képlettel lehet közelíteni. Itt p a mérés kezdetétől eltelt idő percben, b(p) pedig a baktériumok száma ezer darabban.
b) Mennyi lesz a baktériumok száma 60 perc elteltével a képlet alapján?
c) A mérés kezdetétől számítva hányadik órában éri el a baktériumok száma a 600 ezret?
Felismerés. A q = 1,015 szorzó percenként 1,5%-os növekedést jelent. A c) részben két csapda van. A 600 ezer a képletben 600, mert b(p) ezer darabban van. A p percben jön ki, a kérdés viszont órát kér.
Megoldás, b) rész.
b(60) = 6 · 1,015⁶⁰ ≈ 14,66, vagyis kb. 14,7 ezer baktérium
Megoldás, c) rész.
1. lépés: az egyenlet. A 600 ezer a képletben 600.
600 = 6 · 1,015ᵖ
2. lépés: osztás 6-tal.
1,015ᵖ = 100
3. lépés: p a kitevő, ezért p az 1,015 alapú logaritmusa 100-nak.
p = lg 100 / lg 1,015 ≈ 309,3 perc
4. lépés: átváltás órára. 5 óra = 300 perc, 6 óra = 360 perc.
A 309,3 perc 300 és 360 között van, tehát a 6. órában.
Ellenőrzés. b(300) = 6 · 1,015³⁰⁰ ≈ 522, ez még kevesebb 600-nál. A b(360) ≈ 1276 már több. A határ tehát valóban az 5. és a 6. óra vége között van.
Tehát a mérés kezdetétől számítva a 6. órában éri el a baktériumok száma a 600 ezret.
Amire pont jár. A b) részben a 6 · 1,015⁶⁰ ≈ 14,7 ezer 2 pontot ér. A c) részben 1-1 pont jár a 600 = 6 · 1,015ᵖ egyenletért, a 100 = 1,015ᵖ alakért, a p ≈ 309 percért és a „6. órában” válaszért. Aki a 309 percnél megáll, vagy 5. órát ír, az utolsó pontot elveszíti.
Gyakorold (2023. május, II. rész 15. a) és b) feladat, 3 + 5 pont). A Föld népessége 2022 végén 8 milliárd fő volt, és évi 1%-kal nő. a) 2100 végén: 78 év telik el, 8 · 1,01⁷⁸ ≈ 17,38 milliárd fő. b) Melyik évben éri el a 12 milliárdot? 8 · 1,01ⁿ = 12, ebből 1,01ⁿ = 1,5, és n = lg 1,5 / lg 1,01 ≈ 40,75. A 41. évben, azaz 2063-ban. A b) részben 1-1 pont jár az egyenletért és az 1,01ⁿ = 1,5 alakért, 2 pont az n ≈ 40,75-ért, 1 a 2063-as válaszért. Az útmutató szerint az évről évre helyes kerekítéssel végigszámolt népességből adott helyes válasz is teljes pontot ér.
8. Mintapélda 5 - havi 1%-os értékcsökkenés és felezés (II. rész)
A feladat (2022. május, II. rész 16. b) és c) feladat, 4 + 5 pont). Az exponenciális modell szerint egy új autó értéke havonta 1%-kal csökken. Az autó újonnan 6 millió forintba kerül.
b) Hány forintra csökken az értéke két év alatt, és ez hány százalékos csökkenést jelent az új kori értékéhez képest?
c) Hány hónap alatt csökken a felére az autó értéke?
Felismerés. A havi 1%-os csökkenés azt jelenti, hogy az érték havonta a 0,99-szorosára változik. Az időegység a hónap, ezért a két év 24 hónap. A c) részben az ismeretlen a kitevőben van, tehát logaritmus kell.
Megoldás, b) rész.
1. lépés: a szorzó és a hónapok száma.
q = 1 - 0,01 = 0,99, 2 év = 24 hónap
2. lépés: az érték két év múlva.
6 000 000 · 0,99²⁴ ≈ 4 714 069 Ft
3. lépés: az új kori érték hány százaléka.
4 714 069 / 6 000 000 ≈ 0,786, vagyis kb. 78,6%
4. lépés: a csökkenés.
100% - 78,6% = 21,4%
Megoldás, c) rész.
1. lépés: jelölje n a vásárlás óta eltelt hónapok számát.
6 000 000 · 0,99ⁿ = 3 000 000
2. lépés: osztás 6 000 000-val. A kezdőérték kiesik.
0,99ⁿ = 1/2
3. lépés: n a kitevő, ezért logaritmussal.
n = lg 0,5 / lg 0,99 ≈ 68,97
4. lépés: a 69. hónapban, tehát 69 hónap alatt csökken a felére.
Ellenőrzés. 68 hónap után 6 000 000 · 0,99⁶⁸ ≈ 3 029 315 Ft, ez még több a felénél. 69 hónap után ≈ 2 999 022 Ft, ez már kevesebb. A c) rész eredménye nem függ a 6 millió forinttól: bármilyen kezdőértékből ugyanennyi idő alatt feleződik az érték.
Tehát az autó két év alatt kb. 4 714 069 Ft-ra csökken, ez kb. 21,4%-os csökkenés, és az értéke 69 hónap alatt csökken a felére.
Amire pont jár. A b) részben 2 pont jár a 0,99-es szorzóért és a 4 714 069 Ft-ért, 1 a 78,6%-ért és 1 a 21,4%-os csökkenésért. A c) részben 1 pont az egyenletért (ez akkor is jár, ha a gondolat csak a megoldásból derül ki), 1 a 0,99ⁿ = 1/2 alakért, 2 az n ≈ 68,97-ért és 1 a 69 hónapos válaszért. Az útmutató szerint egyenlőtlenséggel számolva is a megfelelő pontok járnak.
Ugyanennek a feladatnak az a) része lineáris modell: 5 év alatt a felére, vagyis 3 millió forinttal csökken az érték. Ez 60 hónap, tehát havonta 50 000 Ft. Ott a havi csökkenés mindig ugyanannyi forint.
9. Mintapélda 6 - két adatból exponenciális modell (II. rész)
A feladat (2026. október, II. rész 17. b) feladat, 6 pont). Egy influenszer követőinek száma 2025. május végén 1,51 millió volt, 2025. november végére 2,05 millióra emelkedett. Az exponenciális becslési modell szerint a követők száma minden hónapban ugyanannyiszorosára emelkedett, és a jövőben is így nő. A modell szerint melyik év melyik hónapjában éri el a követők száma a 4 milliót?
Felismerés. Itt a havi szorzó nincs megadva, két adatból kell kiszámolnod. Május végétől november végéig 6 hónap telik el, tehát hatszor szorzol q-val. A q-t 6. gyökvonással kapod (4. tétel), utána jön a „mikor éri el” egyenlet logaritmussal.
Megoldás.
1. lépés: a havi szorzó egyenlete (millió főben számolva).
1,51 · q⁶ = 2,05
2. lépés: osztás, majd 6. gyökvonás.
q⁶ = 2,05 / 1,51 ≈ 1,358
q ≈ 1,052
3. lépés: jelölje n a 2025. május vége óta eltelt hónapok számát.
1,51 · 1,052ⁿ = 4
4. lépés: osztás 1,51-dal.
1,052ⁿ = 4 / 1,51 ≈ 2,649
5. lépés: n a kitevő, ezért logaritmussal.
n = lg 2,649 / lg 1,052 ≈ 19,2
6. lépés: a 20. hónapban. A május utáni 1. hónap a 2025. június,
a 7. a 2025. december, a 19. a 2026. december, a 20. a 2027. január.
Ellenőrzés. 1,51 · 1,052¹⁹ ≈ 3,96 millió, ez még kevesebb 4 milliónál. 1,51 · 1,052²⁰ ≈ 4,16 millió, ez már több. Ha a q-t nem kerekíted, n ≈ 19,1 jön ki, és a válasz ugyanúgy a 20. hónap.
Tehát a modell szerint 2027 januárjában éri el a követők száma a 4 milliót.
Amire pont jár. Hat darab 1 pontos lépés: az 1,51 · q⁶ = 2,05 egyenlet, a q ≈ 1,052, az 1,51 · 1,052ⁿ = 4 egyenlet, az 1,052ⁿ ≈ 2,649 alak, az n ≈ 19,2 és a „2027 január” válasz. Ha n-et 2025. november végétől számolod, akkor 2,05 · 1,052ᵐ = 4 és m ≈ 13,2 jön ki: ez ugyanúgy teljes értékű.
Összevetés a lineáris modellel (ugyanennek a feladatnak az a) része, 5 pont). Ha a követők száma minden hónapban ugyanannyival nőne, akkor 1,51 + 6d = 2,05, és d = 0,09 millió havonta. Az 1,51 + 0,09n ≥ 4 egyenlőtlenségből n ≥ 27,67, tehát a 28. hónapban, 2027 szeptemberében. Az exponenciális modell 8 hónappal korábbi dátumot ad, mert ott a havi növekmény egyre nagyobb.
Gyakorold (2025. október, II. rész 18. b) és c) feladat, 2 + 4 pont). A trendvonal egyenlete y = 7,67 · 1,27ˣ, ahol x a 2007 óta eltelt évek száma, y gigawattban (GW) van. b) Évente hány százalékkal nőtt? A szorzó 1,27, tehát 27%-kal. c) Melyik évben érné el a 3000 GW-ot? 3000 = 7,67 · 1,27ˣ, ebből 1,27ˣ = 3000 / 7,67 ≈ 391,1, és x = lg 391,1 / lg 1,27 ≈ 24,97. A 2007 + 25 = 2032-es évben. A c) rész négy 1 pontos lépése: az egyenlet, az x kifejezése logaritmussal, a 24,97 és a 2032-es válasz.
10. Tipikus hibák
Itt a legtöbben elrontják: a szorzót. A havi 1%-os csökkenés szorzója 0,99, nem 0,01 és nem 1,01. Az évi 27%-os növekedésé 1,27, nem 0,27 és nem 27. Fordítva is: az 1,27-es szorzó 27%-os növekedést jelent, nem 127%-ot.
Összeadják a százalékokat. Havi 1%-os csökkenés két év alatt nem 24%, hanem 1 - 0,99²⁴ ≈ 21,4%. Az exponenciális folyamatnál a változás mindig az aktuális értékre vonatkozik.
Összeszorozzák a kezdőértéket a szorzóval, és azt hatványozzák. A 6 · 1,015⁶⁰ nem (6 · 1,015)⁶⁰. Először a hatványt számold ki, és azt szorozd 6-tal. A gépbe is így írd be.
Nem osztanak le a logaritmus előtt. A 600 = 6 · 1,015ᵖ egyenletből nem p = lg 600 / lg 1,015 következik. Előbb osztasz 6-tal: 1,015ᵖ = 100, és csak utána jön a logaritmus.
Fordítva írják a törtet. log_a b = lg b / lg a: a számlálóban a szám (b), a nevezőben az alap (a). A log₃ 20 ≈ 2,727, a fordított tört (lg 3 / lg 20 ≈ 0,367) rossz.
Elfelejtik az egységet a képletben. Ha a képlet kilométert vár, a 8848 métert 8,848 km-ként helyettesíted be. Ha b(p) ezer darabban van, a 600 ezer a képletben 600. Ha p percben jön ki, és órát kérdeznek, át kell váltani.
Rossz irányba kerekítik az időt. A 2026. májusi II. rész 17. c) feladatában 2025 végén 1554 csapat volt, és évi 2%-os növekedéssel kellett az 1800-at elérni. Itt n ≈ 7,4, vagyis a 7. év végén még nem érte el a határt. A válasz a 8. év, azaz 2033, nem 2032.
Rossz kezdőévhez adják hozzá. Ha x a 2007 óta eltelt évek száma, akkor x = 25 a 2032-es év, nem 2025 + 25. Mindig nézd meg, mitől számol a képlet.
„Megoldást” írnak, ahol nincs. A 2ˣ = -4 egyenletnek nincs megoldása, mert 2ˣ mindig pozitív. Negatív számnak és a nullának nincs logaritmusa: az lg (-4) a gépen hibaüzenetet ad.
11. Ellenőrzés
1. Helyettesíts vissza az eredeti egyenletbe. Az 1. mintapélda ellenőrzése ezt mutatja. Kerekített megoldásnál a visszahelyettesítés csak közelítőleg adja vissza a jobb oldalt: a 10ˣ = 30 megoldásánál 10^1,477 ≈ 29,99 ≈ 30.
2. Logaritmusnál használd a definíciót. Ha log₂ 10 ≈ 3,322, akkor 2^3,322 ≈ 10 kell legyen. Ha nem ez jön ki, valószínűleg fordítva írtad a törtet.
3. „Mikor éri el” kérdésnél nézd meg a két szomszédos egészet. A 2026. májusi, csapatszámos feladatban 1554 · 1,02⁷ ≈ 1785, ez még kevesebb 1800-nál, az 1554 · 1,02⁸ ≈ 1821 már több. A határ tehát a 7. és a 8. év vége között van. Ez a kerekítés irányát is ellenőrzi.
4. Becsülj az iránnyal. Növekedésnél (q > 1) a későbbi érték nagyobb, csökkenésnél (q < 1) kisebb. Ha a baktériumok száma 60 perc alatt kevesebb lesz a kezdeti 6 ezernél, elrontottad a szorzót. Ha 4200 méteren kisebb lenne a légnyomás, mint 8848 méteren, valami nem stimmel.
5. Felezésnél gondold végig a felezési időt. Ha a kitalált példa gyógyszere 6 óránként a felére csökken, akkor 12 óra alatt a negyedére, 18 óra alatt a nyolcadára. Ha egy számolásban a negyedelés kevesebb ideig tart, mint a felezés, hiba van.
6. Ne kerekíts túl korán. A köztes értékeket hagyd a gép memóriájában, és csak a végén kerekíts. A korai kerekítés eltolhatja az utolsó tizedesjegyet: a légnyomásos feladatban 4,22 km és 4,214 km is kijöhet. Amit a feladat kér (egészre, 100 méterre, három tizedesjegyre), arra kerekíts, mert ezért külön pont jár.
7. Írj szöveges választ, mértékegységgel. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „A 6. órában éri el a baktériumok száma a 600 ezret.”
12. Összefoglaló
- Az exponenciális egyenletben az ismeretlen a kitevőben áll, például 2ˣ = 8 vagy 8 · 1,01ⁿ = 12.
- Ha a két oldal azonos alapra hozható, a hatványozás azonosságaival egy hatvánnyá alakítod, és az exponenciális függvény kölcsönös egyértelműsége miatt a kitevők egyenlők.
- Az x ↦ aˣ függvény (a > 0, a ≠ 1) minden értéke pozitív, ezért az aˣ = b egyenletnek b ≤ 0 esetén nincs megoldása.
- A logaritmus egy kitevő: log_a b = c pontosan akkor, ha aᶜ = b, ahol a > 0, a ≠ 1 és b > 0.
- Negatív számnak és a nullának nincs logaritmusa; a logaritmus értéke viszont lehet negatív vagy nulla.
- Az lg a 10-es alapú logaritmus; bármely más alapú logaritmust így számolsz ki: log_a b = lg b / lg a.
- Az aˣ = b egyenlet megoldása x = lg b / lg a; ha előtte szorzó áll (c · aˣ = d), előbb azzal osztasz.
- Exponenciális folyamat: N(t) = N₀ · qᵗ; p%-os növekedésnél q = 1 + p/100, p%-os csökkenésnél q = 1 - p/100.
- A felezési idő az az idő, amely alatt a mennyiség a felére csökken; T felezési idővel m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T).
- A lineáris modell minden időegységben ugyanannyit ad hozzá, az exponenciális ugyanannyiszorosára változtat.
- „Melyik évben éri el” kérdésnél a nem egész n-et a szöveghez igazítod: növekvő folyamatnál a következő egész évben éri el a határt, és ezt a kezdőévhez adod.
- Csak emelt szint: a logaritmus azonosságai, a logaritmusos egyenlet, a logaritmusfüggvény és az általános exponenciális egyenletek.
13. Kulcsfogalmak
- Exponenciális egyenlet - olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen a kitevőben szerepel.
- Exponenciális függvény - az x ↦ aˣ függvény, ahol a > 0 és a ≠ 1; minden értéke pozitív, és kölcsönösen egyértelmű.
- Kölcsönösen egyértelmű - különböző x-ekhez különböző függvényérték tartozik; ezért aᵘ = aᵛ esetén u = v.
- Logaritmus - log_a b az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
- Logaritmus alapja - az a szám a log_a b jelölésben; pozitív és 1-től különböző.
- lg - a 10-es alapú logaritmus jele: lg b = log₁₀ b.
- Kiszámolás 10-es alapú logaritmussal - log_a b = lg b / lg a.
- Exponenciális folyamat - egy mennyiség egyenlő időközönként ugyanannyiszorosára változik: N(t) = N₀ · qᵗ.
- Kezdőérték - a folyamat értéke a t = 0 időpontban, a képletben N₀.
- Növekedési tényező (szorzó) - az a q szám, ahányszorosára a mennyiség egy időegység alatt változik.
- Felezési idő - az az idő, amely alatt egy csökkenő mennyiség a felére csökken.
- Ne keverd össze: lineáris és exponenciális modell - a lineáris ugyanannyival, az exponenciális ugyanannyiszorosára változtat időegységenként.
- Ne keverd össze: q = 0,99 és q = 0,01 - havi 1%-os csökkenés szorzója 0,99; a 0,01 csak a csökkenés mértéke.
14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok
1. Hogyan oldasz meg egy exponenciális egyenletet azonos alapra hozással?
Mindkét oldalt ugyanannak a számnak a hatványaként írom fel, például 8 = 2³ vagy 1/25 = 5⁻². A hatványozás azonosságaival mindkét oldalt egyetlen hatvánnyá vonom össze. Az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért ha a két hatvány egyenlő, a kitevőik is egyenlők. Így a kitevőkre egy egyszerű egyenletet kapok. Például 4ˣ = 32 esetén 4ˣ = 2^(2x) és 32 = 2⁵, tehát 2x = 5, x = 2,5.
2. Mi a logaritmus definíciója, és milyen kikötések vannak?
Ha a > 0, a ≠ 1 és b > 0, akkor az a alapú logaritmus b az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Vagyis log_a b = c pontosan akkor, ha aᶜ = b. Például log₂ 8 = 3, mert 2³ = 8. Negatív számnak és a nullának nincs logaritmusa, mert pozitív alap minden hatványa pozitív. Az 1 nem lehet alap, mert minden hatványa 1.
3. Hogyan számolod ki egy nem 10-es alapú logaritmus értékét?
A 10-es alapú logaritmus segítségével: log_a b = lg b / lg a. A számlálóba a szám, a nevezőbe az alap logaritmusa kerül. Például log₅ 40 = lg 40 / lg 5 ≈ 2,292. Az eredményt a definícióval ellenőrzöm: 5 a 2,292-ediken körülbelül 40.
4. Hogyan oldod meg a c · aˣ = d alakú egyenletet?
Először c-vel osztok, hogy a hatvány egyedül maradjon: aˣ = d / c. Ha ez azonos alapra hozható, a kitevőket összevetem. Ha nem, akkor x = lg (d / c) / lg a. Például 3 · 1,2ˣ = 12 esetén 1,2ˣ = 4, és x = lg 4 / lg 1,2 ≈ 7,604. A 2024. októberi útmutató (4. mintapélda) a felírásért, az osztás utáni alakért és a kitevőért is külön pontot ad.
5. Mi az exponenciális folyamat, és hogyan kapod meg a szorzót?
Exponenciális egy folyamat, ha a mennyiség egyenlő időközönként ugyanannyiszorosára változik. Képlete N(t) = N₀ · qᵗ, ahol N₀ a kezdőérték és q a szorzó. p százalékos növekedésnél q = 1 + p/100, csökkenésnél q = 1 - p/100. Évi 6%-os növekedésnél q = 1,06, havi 2,5%-os csökkenésnél q = 0,975. Ha q > 1, a mennyiség nő, ha 0 < q < 1, csökken.
6. Mi a felezési idő, és hogyan számolod ki százalékos csökkenésből?
A felezési idő az az idő, amely alatt egy csökkenő mennyiség a felére csökken. Ha T a felezési idő, akkor t idő múlva m₀ · (1/2)^(t/T) marad. Ha csak a százalékos csökkenést ismerem, a qⁿ = 1/2 egyenletet oldom meg. Havi 3%-os csökkenésnél 0,97ⁿ = 1/2, ebből n = lg 0,5 / lg 0,97 ≈ 22,76, tehát 23 hónap alatt csökken a felére (a havi 1%-os autós feladatban ugyanígy 69 hónap jött ki). Az eredmény nem függ a kezdőértéktől.
7. Mire figyelsz, ha azt kérdezik, melyik évben éri el a mennyiség a megadott értéket?
Felírom az egyenletet, leosztok a kezdőértékkel, és logaritmussal kiszámolom n-et. Ez általában nem egész. Növekvő folyamatnál n-et felfelé kerekítem, mert az előtte lévő év végén még nem érte el a határt. A két szomszédos egész behelyettesítésével ellenőrzöm. Végül megnézem, mitől számol a képlet. Ha x a 2007 óta eltelt évek száma, és x ≈ 24,97, akkor a határt az x = 25-höz tartozó évben éri el: 2007 + 25 = 2032.
8. Mi a különbség a lineáris és az exponenciális modell között?
A lineáris modellben a mennyiség minden időegységben ugyanannyival változik, ez számtani sorozat. Az exponenciális modellben ugyanannyiszorosára változik, ez mértani sorozat. Az influenszeres feladatban a lineáris modell 2027 szeptemberét, az exponenciális 2027 januárját adta a 4 millió követőre. Növekedésnél az exponenciális modell idővel gyorsabban nő, mert a növekmény mindig az aktuális értékből számolódik.