Hatványozás, gyökvonás, normálalak
Tételszám: #4 | Kategória: Számelmélet, algebra | Szint: Középszint (2026)
1. Bevezetés
Ez a tétel a hatványozás és a gyökvonás szabályairól szól, és arról, hogyan írsz le röviden egy nagyon nagy vagy nagyon kicsi számot. A hatvány ismételt szorzás rövid írása: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2. A gyökvonás a hatványozás „visszafelé” lépése: melyik szám ötödik hatványa a 32? A normálalak pedig a 2 240 000 helyett a 2,24 · 10⁶ írásmód.
Az írásbelin ebből a témából főleg rövid, I. részes feladat jön. A 2024 és 2026 közötti hat középszintű feladatsorból négyben volt önálló, 2 pontos feladat róla: kétszer egy kitevő meghatározása a hatványozás azonosságaival, egyszer egy szám meghatározása a^(1/2) = 4-ből, és egyszer egy törtkitevős hatvány gyökös alakja.
Ennél sokkal több pont múlik rajta közvetve. Gyökvonás kell, ha egy gömb sugarát a térfogatából számolod, ha egy növekedés évi százalékát keresed, és a hatványozás azonosságai nélkül nem megy az exponenciális egyenlet és a logaritmus sem. Ezért ez a tétel eszköz: amit itt megtanulsz, azt a II. részben is használod.
2. Mire jó ez, mikor ismerd fel
A feladat szövegében három jel árulkodik: egy ismeretlen kitevő, egy gyökjel vagy tört kitevő, illetve egy nagyon nagy vagy nagyon kicsi szám.
Árulkodó jelek a feladat szövegében
- „Határozza meg n értékét”, és a jobb oldalon 2ⁿ áll. Ilyenkor a bal oldalt is 2 hatványaként kell felírnod a hatványozás azonosságaival, és a kitevőket összevetni.
- Tört a kitevőben, például a^(1/2) vagy b^(2/3). Ez racionális kitevőjű hatvány: gyökké kell átírni, vagy gyököt kell hatvánnyá.
- „Melyik kifejezés egyenlő vele minden pozitív b esetén?” Feleletválasztós átalakítás: az azonosságokkal mindegyik lehetőséget ugyanarra az alakra hozod.
- Milliárd, millió, ezredrész, vagy mm és km egy feladatban. Itt a normálalak segít, mert vele a 10 hatványai egyszerűen összeszorozhatók.
- „Számítsa ki a gömb (félgömb, kocka) sugarát (élét), ha a térfogata ...”. A térfogatképletben a sugár a harmadik hatványon van, tehát a végén köbgyököt vonsz.
- „Évente hány százalékkal kellene nőnie, hogy n év alatt ... legyen?” Itt a növekedés egy évre eső szorzóját n-edik gyökvonással kapod meg.
A számológép a hatványozást és a gyökvonást indoklás nélkül elvégezheti: a feladatlap tudnivalói szerint ezek elfogadott gépi lépések. Az egyenletet, amiből a gép számol, viszont le kell írnod: a lenti II. részes mintapéldákban a felírás külön pontot ér.
3. Fogalmak és képletek
Ezeket a szabályokat fejből érdemes tudni, mert az I. részben 45 perc alatt kell dolgoznod, és nincs idő keresgélni.
Hatvány pozitív egész kitevőre: alap és kitevő
Ha n pozitív egész szám, akkor aⁿ azt jelenti, hogy az a számot n-szer szorzod össze önmagával. Az a a hatványalap (röviden alap), az n a hatványkitevő (röviden kitevő), az aⁿ pedig a hatvány. Például 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, és a¹ = a.
Negatív alapnál figyelj a zárójelre. A (-2)⁴ azt jelenti, hogy a -2-t szorzod négyszer: (-2)⁴ = 16. A -2⁴ viszont a 2⁴ ellentettje: -2⁴ = -16. Negatív szám páros kitevőjű hatványa pozitív, páratlan kitevőjű hatványa negatív: (-2)³ = -8.
Nulla és negatív kitevő
A hatványozást úgy terjesztjük ki 0 és negatív egész kitevőre, hogy az azonosságok továbbra is igazak maradjanak. Ha a ≠ 0, akkor:
a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Például 5⁰ = 1, 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8, 10⁻² = 1/100 = 0,01. A negatív kitevő tehát nem negatív számot ad, hanem a reciprokot. Törtnél a negatív kitevő megfordítja a törtet: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
A 0⁰ nincs értelmezve, és 0-nak negatív kitevőjű hatványa sincs, mert 0-val nem lehet osztani.
A hatványozás azonosságai
Ez az öt azonosság a tétel gerince. Akkor használhatod őket, ha azonos az alap (az első három) vagy azonos a kitevő (az utolsó kettő). Az alapok nem 0-k, a kitevők egészek.
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ azonos alapú hatványok szorzata
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ azonos alapú hatványok hányadosa
(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ hatvány hatványa
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ szorzat hatványa
(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ tört hatványa
Szóban: azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevőket összeadod, osztásakor kivonod, hatvány hatványozásakor összeszorzod. Például 3⁴ · 3⁻² = 3² = 9, és (5²)³ = 5⁶ = 15 625.
Összegre nincs ilyen szabály. A 2³ + 2⁴ nem 2⁷: 8 + 16 = 24, a 2⁷ pedig 128. Ugyanígy (a + b)² ≠ a² + b².
Visszafelé is használd őket: 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³ = 1000. Ha egy feladatban különböző alapok vannak, előbb próbáld meg mindent ugyanannak a számnak a hatványaként felírni: 8 = 2³, 4 = 2², 1/2 = 2⁻¹.
Bizonyítás konkrét alapra és pozitív egész kitevőre
A követelmény középszinten is kéri, hogy a hatványozás azonosságait konkrét alapra és pozitív egész kitevőre be tudd bizonyítani. A bizonyítás a hatvány definícióján múlik: aⁿ n darab a szorzata.
Legyen az alap 2, a kitevők n és m pozitív egészek.
2ⁿ · 2ᵐ = (2 · 2 · ... · 2) · (2 · 2 · ... · 2)
n darab tényező m darab tényező
= n + m darab 2-es szorzata = 2ⁿ⁺ᵐ
A hatvány hatványa ugyanígy: (2ⁿ)ᵐ az m darab 2ⁿ szorzata. Mindegyikben n darab 2-es van, ez összesen n · m darab 2-es tényező, tehát (2ⁿ)ᵐ = 2ⁿ·ᵐ.
A szorzat hatványánál a tényezőket átcsoportosítod, mert a szorzás felcserélhető és csoportosítható: (2 · 5)³ = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = 2³ · 5³. A hányadosnál egyszerűsítesz: 3⁵ / 3² = (3 · 3 · 3 · 3 · 3) / (3 · 3) = 3³, mert a nevező két 3-asa kiesik.
Egész kitevőre (negatív kitevőt is beleértve) a bizonyítás már emelt szintű.
A négyzetgyök és azonosságai
Ha a ≥ 0, akkor √a (a négyzetgyök a) az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a. Például √9 = 3, mert 3 ≥ 0 és 3² = 9. A √9 tehát nem -3, és nem is ±3. Negatív számnak nincs négyzetgyöke a valós számok között.
Az azonosságok, amelyeket a követelmény középszinten kér:
√(a · b) = √a · √b ha a ≥ 0 és b ≥ 0
√(a / b) = √a / √b ha a ≥ 0 és b > 0
√(a²) = |a| minden valós a-ra
(√a)² = a ha a ≥ 0
A √(a²) = |a| azért kell, mert a gyök nem lehet negatív: √((-3)²) = √9 = 3, ami a -3 abszolút értéke (a szám nullától mért távolsága).
Az első azonossággal kiemelsz a gyökjel alól: √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Visszafelé összevonsz egy szorzatot: √12 · √3 = √36 = 6. Összegre nincs szabály: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, de √(9 + 16) = √25 = 5.
Az n-edik gyök
Az n-edik gyök (jele ⁿ√a, ahol n ≥ 2 egész) a négyzetgyök általánosítása. A páros és a páratlan n esete különbözik:
- Ha n páros, és a ≥ 0, akkor ⁿ√a az a nemnegatív szám, amelynek n-edik hatványa a. Például ⁴√81 = 3, mert 3⁴ = 81. Negatív számnak páros gyöke nincs: a ⁴√(-16) nem értelmezett a valós számok körében.
- Ha n páratlan, akkor ⁿ√a minden valós a-ra az a valós szám, amelynek n-edik hatványa a. Például ³√(-8) = -2, mert (-2)³ = -8.
A köbgyök a harmadik gyök: ³√64 = 4, mert 4³ = 64. Ezt kell vonnod, ha a térfogatból (r³ vagy a³) keresed a sugarat vagy az élt.
A gépen az n-edik gyökhöz külön gomb van. Ha a gépeden nem találod, emeld a számot 1/n-edik hatványra: a ⁷⁸√1,29375 ugyanaz, mint az 1,29375^(1/78). Az n-edik gyökökre vonatkozó külön azonosságok (például ³√(a · b) = ³√a · ³√b) már az emelt szint anyagai. Középszinten ha ilyen átalakítás kell, írd át a gyököt törtkitevős hatványra, és a hatványozás azonosságaival dolgozz.
Racionális kitevőjű hatvány
Ha a kitevő tört, így írjuk: a^(m/n), és így olvasd: „a az m n-ediken”. Ha a > 0, m egész és n ≥ 2 egész, akkor:
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
a^(1/n) = ⁿ√a speciálisan: a^(1/2) = √a
A nevező a gyökkitevő, a számláló a hatványkitevő. Például 8^(2/3) = ³√(8²) = ³√64 = 4. Ugyanez fordított sorrendben gyakran könnyebb: (³√8)² = 2² = 4. További példák: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8, és 27^(-1/3) = 1 / 27^(1/3) = 1/3.
Az alap itt pozitív. A hatványozás öt azonossága racionális kitevőre is érvényes, ezért írhatod például, hogy b^(2/3) · b^(1/3) = b¹ = b. A permanencia-elv (miért éppen így terjesztjük ki a hatványozást) és az irracionális kitevőjű hatvány már emelt szint.
Normálalak és számolás normálalakkal
Egy szám normálalakja a · 10ᵏ, ahol 1 ≤ |a| < 10, és k egész szám. Az első tényező abszolút értéke tehát legalább 1, de 10-nél kisebb, a második tényező a 10 egy hatványa.
2 240 000 = 2,24 · 10⁶ (a tizedesvesszőt 6 hellyel balra vitted)
0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴ (a tizedesvesszőt 4 hellyel jobbra vitted)
Gyors szabály: ha a szám abszolút értéke legalább 10, a kitevő pozitív; ha 1-nél kisebb (de a szám nem 0), a kitevő negatív. Ha 1 és 10 közé esik, a kitevő 0: a 3,7 normálalakja 3,7 · 10⁰. Negatív szám normálalakjában az előjel az első tényezőhöz kerül: -52 000 = -5,2 · 10⁴.
Szorzás és osztás: az első tényezőket összeszorzod (osztod), a 10 hatványainál a kitevőket összeadod (kivonod). Ha az első tényező kicsúszik az 1 és 10 közül, igazítsd vissza:
(3 · 10⁵) · (4 · 10⁻²) = 12 · 10³ = 1,2 · 10⁴
(6 · 10⁸) / (1,5 · 10³) = 4 · 10⁵
Összeadás: csak azonos kitevőnél adhatod össze az első tényezőket. 3 · 10⁴ + 5 · 10³ = 3 · 10⁴ + 0,5 · 10⁴ = 3,5 · 10⁴.
A számológép a nagyon nagy vagy nagyon kicsi eredményt gyakran normálalakban írja ki, például 2.24E12 alakban, ami 2,24 · 10¹²-t jelent. Ezt a válaszba ne így másold le, hanem 2,24 · 10¹² alakban.
4. Mintapélda 1 - kitevő meghatározása azonosságokkal (I. rész)
A feladat (2026. május, I. rész 7. feladat, 2 pont). Határozd meg az n értékét, ha (2²)⁴ / 8 = 2ⁿ.
Felismerés. A jobb oldalon 2 hatványa áll, ezért a bal oldalt is egyetlen 2-hatvánnyá kell alakítani. A 8 is 2 hatványa.
Megoldás.
1. lépés: hatvány hatványa, a kitevőket összeszorozzuk.
(2²)⁴ = 2²·⁴ = 2⁸
2. lépés: a 8-at 2 hatványaként írjuk, hogy azonos legyen az alap.
8 = 2³
3. lépés: azonos alapú hatványok hányadosa, a kitevőket kivonjuk.
2⁸ / 2³ = 2⁸⁻³ = 2⁵
4. lépés: két azonos alapú hatvány akkor egyenlő, ha a kitevőjük egyenlő.
2⁵ = 2ⁿ, tehát n = 5
Tehát n = 5. Gyors ellenőrzés: 2⁸ = 256, 256 / 8 = 32, és 2⁵ = 32.
Amire pont jár. Az útmutató a helyes n = 5 értékért adja a 2 pontot, részpontokat nem sorol fel. A keretbe csak a végeredmény kerül, ezért itt a pontos számolás a cél.
Gyakorold (2022. október, I. rész 3. feladat). Add meg n értékét, ha (2⁷ · 2⁶) / 2³ = 2ⁿ. A számlálóban a kitevőket összeadod: 2¹³. Utána a nevezőét kivonod: 2¹³⁻³ = 2¹⁰. A válasz n = 10.
5. Mintapélda 2 - törtkitevős hatvány gyökös alakja (I. rész)
A feladat (2025. október, I. rész 5. feladat, 2 pont). Melyik kifejezés egyenlő minden pozitív b esetén a b^(2/3) kifejezéssel?
A: (2/3) · b B: b^(-3/2) C: ³√(b²) D: b² / b³
Felismerés. Tört van a kitevőben, tehát a racionális kitevőjű hatvány definíciója kell: a nevező a gyökkitevő, a számláló a hatványkitevő.
Megoldás.
1. lépés: a definíció alkalmazása.
b^(2/3) = ³√(b²), tehát a C jó.
2. lépés: a többi lehetőség kizárása, hogy biztos legyél.
A: a kitevő nem szorzó, a (2/3) · b más szám.
B: a kitevő ellentettje és reciproka, ez nem ugyanaz.
D: b² / b³ = b²⁻³ = b⁻¹, ez az 1/b.
3. lépés: próba egy konkrét számmal, például b = 8.
b^(2/3) = ³√64 = 4.
A: 16/3; B: kb. 0,044; C: ³√64 = 4; D: 1/8.
Csak a C adott 4-et.
Tehát a C kifejezés egyenlő vele.
Amire pont jár. Az útmutató a C válaszért adja a 2 pontot, és ezt a pontszámot nem bontja: vagy jó a betű, vagy 0 pont.
Gyakorold (2024. május, I. rész 5. feladat, 2 pont). Add meg a értékét, ha a^(1/2) = 4. Az a^(1/2) ugyanaz, mint √a, tehát √a = 4. Mindkét oldalt négyzetre emeled: a = 4² = 16. Ellenőrzés: √16 = 4.
6. Mintapélda 3 - negatív kitevő és gyökös kifejezések (gyakorló)
A feladat (saját gyakorlófeladat). Számold ki számológép nélkül, pontos értékkel!
a) 3⁻² + 5⁰ b) √12 · √3 c) √50 - √8
Megoldás.
a) 1. lépés: negatív kitevő = a pozitív kitevős hatvány reciproka.
3⁻² = 1 / 3² = 1/9
2. lépés: nem nulla szám nulladik hatványa 1.
5⁰ = 1
3. lépés: összeadás.
1/9 + 1 = 10/9
b) 1. lépés: azonos a gyökjel, ezért a szorzatot egy gyök alá vonjuk.
√12 · √3 = √(12 · 3) = √36
2. lépés: √36 = 6, mert 6 ≥ 0 és 6² = 36.
c) 1. lépés: mindkét gyök alól kiemelünk egy négyzetszámot.
√50 = √(25 · 2) = 5√2
√8 = √(4 · 2) = 2√2
2. lépés: most már egynemű tagok, összevonhatók.
5√2 - 2√2 = 3√2
Tehát a) 10/9, b) 6, c) 3√2 (ami kb. 4,24).
Amire pont jár. Ez saját gyakorlófeladat, nincs hozzá hivatalos útmutató. Az I. részben a végeredményt keretbe írod, és a megoldást csak akkor kell részletezni, ha a feladat kéri. A c) részt a gép csak tizedestörtként adja meg, ezért ha pontos érték kell, a 3√2 alakot kell beírnod.
7. Mintapélda 4 - kávékapszulák lánca normálalakkal (II. rész)
A feladat (2025. október, II. rész 16. a) feladat, 4 pont). Az emberiség évente körülbelül 56 milliárd kávékapszulát használ el. Egy honlap szerint ezeket egymás mellé sorba állítva a lánc 57-szer olyan hosszú lenne, mint az Egyenlítő. Egy kapszula szélessége 40 mm. Számítással igazold, hogy az állítás jó közelítéssel igaz! (Jó a közelítés, ha a kapott érték 55 és 59 közé esik. Az Egyenlítő egy 6370 km sugarú kör.)
Felismerés. Nagy számok és két mértékegység (mm, km) szerepel. Normálalakban a milliárd és az átváltás is a 10 hatványaival intézhető el.
Megoldás (a normálalakos lépések).
1. lépés: a lánc hossza mm-ben (56 milliárd = 56 · 10⁹).
56 · 10⁹ · 40 = 2240 · 10⁹ = 2,24 · 10¹² mm
2. lépés: átváltás km-re. 1 km = 1000 m = 1 000 000 mm = 10⁶ mm,
ezért 10⁶-nal osztunk, a kitevőből 6-ot kivonunk.
2,24 · 10¹² / 10⁶ = 2,24 · 10⁶ km = 2 240 000 km
A feladat többi része a kör kerülete: az Egyenlítő hossza 2 · 6370 · π ≈ 40 024 km, és 2 240 000 / 40 024 ≈ 56, ami 55 és 59 közé esik, tehát az állítás jó közelítéssel igaz. Ezt a részt a teljes pontozással a 17. tétel (kör, körcikk) dolgozza ki.
Amire pont jár. A 4 pontból kettő a normálalakos lépéseké: egy pont a lánc hosszáért (2,24 · 10¹² mm), egy a km-re váltásért (2 240 000 km).
8. Mintapélda 5 - félgömb sugara köbgyökkel (II. rész)
A feladat (saját gyakorlófeladat, II. részes típus). Egy félgömb alakú salátástál belső űrtartalma 2 liter. Mekkora a tál belső sugara egy tizedesjegyre kerekítve?
Felismerés. Térfogatból kell a sugár. A gömb térfogatképletében (V = (4/3) · r³ · π) a sugár a harmadik hatványon van, ezért a végén köbgyököt vonsz.
Megoldás.
1. lépés: mértékegység-váltás, hogy a sugár cm-ben jöjjön ki.
2 l = 2 dm³ = 2000 cm³
2. lépés: a félgömb térfogata a gömb térfogatának fele.
(1/2) · (4/3) · r³ · π = 2000
3. lépés: r³ kifejezése (a bal oldal (2/3) · π · r³).
r³ = 2000 · 3 / (2π) = 3000 / π ≈ 954,9
4. lépés: köbgyökvonás, mert r³ ismert és r kell.
r = ³√954,9 ≈ 9,85 ≈ 9,8
Tehát a tál belső sugara kb. 9,8 cm.
Amire figyelj. A köbgyököt a gép indoklás nélkül kiszámolhatja, de az egyenletet le kell írni: az éles feladatokban a felírás külön pontot ér. Két éles feladat ugyanerre a lépésre: a 2025. októberi II. rész 16. c) (10 ml-es félgömb, r³ = 15 / π ≈ 4,775, r ≈ 1,7 cm) és a 2023. májusi I. rész 11. feladat (1989 cm³-es gömb, r ≈ 7,8 cm). Mindkettőt a 22. tétel (gömb, csonkatestek) dolgozza ki pontozással.
9. Mintapélda 6 - évi növekedés n-edik gyökkel (II. rész)
A feladat (2023. május, II. rész 15. c) feladat, 4 pont). A Föld népessége a feladat szerint 2022 végén 8 milliárd fő volt. Egy becslés szerint 2100 végére 10,35 milliárd fő lesz. 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene nőnie a népességnek ehhez, ha minden évben ugyanannyi százalékkal nőne?
Felismerés. Minden évben ugyanannyiszorosára nő a népesség, tehát egy szorzót (q) ismételten alkalmazunk: ez hatvány. Az évek száma ismert, a szorzó nem, ezért a végén n-edik gyököt vonsz. A kamatszámítás és az exponenciális folyamatok külön tételben vannak, itt csak a gyökvonás lépése az új.
Megoldás.
1. lépés: hány év telik el?
2100 - 2022 = 78 év
2. lépés: az egyenlet felírása. Jelölje q, hogy évente hányszorosára nő a népesség.
8 · q⁷⁸ = 10,35
3. lépés: q⁷⁸ kifejezése, osztunk 8-cal.
q⁷⁸ = 10,35 / 8 = 1,29375
4. lépés: 78-adik gyökvonás, mert a kitevő ismert, az alap nem.
q = ⁷⁸√1,29375 ≈ 1,0033
5. lépés: a szorzóból százalék.
1,0033 = 1 + 0,0033, vagyis évi kb. 0,33%-os növekedés.
Tehát évente kb. 0,33%-kal kellene nőnie a népességnek.
Amire pont jár. Egy pont jár a 8 · q⁷⁸ = 10,35 egyenletért (a 78 év felismerésével), két pont a q ≈ 1,0033 értékért, és egy pont a 0,33%-os válaszért. A szorzót (1,0033) ne add meg válaszként, mert a kérdés százalékot kér: a növekmény 0,0033, ennek százszorosa a 0,33%.
10. Tipikus hibák
Itt a legtöbben elrontják: összeszorozzák a kitevőket, amikor össze kellene adni. A 2³ · 2⁴ = 2⁷, nem 2¹². Szorzásnál összeadod a kitevőket, és csak hatvány hatványozásánál szorzod őket: (2³)⁴ = 2¹².
Különböző alapú hatványokat vonnak össze. A 2³ · 3² nem 6⁵. A kitevőket csak azonos alapnál adhatod össze. Előbb írd át az alapokat ugyanarra a számra, ha lehet (8 = 2³, 9 = 3²).
Összegre alkalmazzák a szorzat szabályát. 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷, és √9 + √16 ≠ √25. A hatványozás és a gyökvonás azonosságai szorzatra és hányadosra szólnak, összegre nem.
A negatív kitevőből negatív számot csinálnak. 2⁻³ nem -8 és nem -6, hanem 1/8. A negatív kitevő reciprokot jelent.
Elfelejtik a zárójelet negatív alapnál. (-2)⁴ = 16, de -2⁴ = -16. A gépbe is zárójellel kell beírni a negatív alapot.
Felcserélik a tört kitevő számlálóját és nevezőjét. A b^(2/3) = ³√(b²), nem √(b³). A nevező a gyökkitevő.
A négyzetgyököt kétértékűnek veszik. √9 = 3, nem ±3. A ± az x² = 9 egyenletnél jön elő (x = 3 vagy x = -3), nem a gyök értékénél.
Normálalakban rossz irányba viszik a kitevőt. A 0,00045 normálalakja 4,5 · 10⁻⁴, nem 4,5 · 10⁴. Ha a szám 0 és 1 közé esik, a kitevő negatív. A 22,4 · 10¹¹ sem normálalak, mert 22,4 nagyobb 10-nél: helyesen 2,24 · 10¹².
Mértékegység-váltásnál rossz kitevővel osztanak. 1 km = 10⁶ mm, nem 10³ mm. A mm-ből előbb m lesz (10³), a m-ből km (újabb 10³), ez együtt 10⁶.
11. Ellenőrzés
1. Helyettesíts vissza. Ha n = 5 jött ki, nézd meg, hogy 2⁵ = 32 tényleg egyenlő-e (2²)⁴ / 8 = 256 / 8 = 32-vel. Ha a = 16, akkor 16^(1/2) = √16 = 4, ez stimmel.
2. Hatványozz vissza gyökvonás után. A tálnál r ≈ 9,8 cm-rel (2/3) · π · 9,8³ ≈ 1971 cm³ jön ki, ez a lefelé kerekítés miatt kicsit kevesebb a 2000-nél, de közel van hozzá. A népességnél 8 · 1,0033⁷⁸ ≈ 10,34 milliárd, ez is közel van a 10,35-hoz.
3. Próbáld ki egy számmal. Ha azt kell eldönteni, melyik kifejezés egyenlő egy másikkal, helyettesíts be egy kényelmes pozitív számot (például b = 8 a b^(2/3)-nál). Ha két kifejezés értéke eltér, biztosan nem egyenlők.
4. Becsüld meg a nagyságrendet. Normálalaknál nézd meg, ésszerű-e a 10 kitevője. 56 milliárd darab 4 cm-es kapszula millió kilométer nagyságrendű lánc, az Egyenlítő pedig kb. 40 000 km. A hányados tehát néhány tíz, és az 56 ilyen.
5. Nézd meg, ésszerű-e az eredmény. Egy 2 literes tál sugara 10 cm körüli lehet, nem 1 m és nem 1 cm. Egy népesség évi növekedése néhány tized vagy néhány százalék, nem 33%.
6. Írd ki a választ szövegesen, mértékegységgel. A feladatlap tudnivalói szerint a végeredményt szöveges válaszban is közölni kell: „A tál belső sugara kb. 9,8 cm.”
12. Összefoglaló
- aⁿ az a szám n-szeri szorzata önmagával; a a hatványalap, n a hatványkitevő.
- Ha a ≠ 0, akkor a⁰ = 1 és a⁻ⁿ = 1 / aⁿ; a negatív kitevő reciprokot jelent, nem negatív számot.
- Azonos alapnál szorzáskor a kitevőket összeadod, osztáskor kivonod, hatvány hatványozásakor összeszorzod.
- (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ és (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ; összegre nincs ilyen szabály.
- A hatványozás azonosságait konkrét alapra és pozitív egész kitevőre a hatvány definíciójából bizonyítod: megszámolod a tényezőket.
- √a (a ≥ 0) az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a; √9 = 3, nem ±3.
- √(a · b) = √a · √b, √(a / b) = √a / √b, és √(a²) = |a|.
- Páros n-re ⁿ√a csak a ≥ 0-ra értelmezett, páratlan n-re minden valós a-ra: ³√(-8) = -2.
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) pozitív a-ra: a nevező a gyökkitevő, a számláló a hatványkitevő.
- A normálalak a · 10ᵏ, ahol 1 ≤ |a| < 10 és k egész; 1-nél kisebb abszolút értékű számnál k negatív.
- Normálalakban szorzáskor a 10 kitevőit összeadod, osztáskor kivonod, összeadás előtt azonos kitevőre hozod a tagokat.
- Térfogatból a sugarat köbgyökkel, egy n év alatti növekedés évi szorzóját n-edik gyökkel kapod meg.
13. Kulcsfogalmak
- Hatvány - aⁿ, az a szám n-szeri szorzata önmagával (n pozitív egész).
- Hatványalap - a hatványban az ismételten szorzott szám (aⁿ-ben az a).
- Hatványkitevő - azt mutatja meg, hányszor szorzod az alapot önmagával (aⁿ-ben az n).
- Negatív kitevőjű hatvány - a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, ha a ≠ 0; a pozitív kitevőjű hatvány reciproka.
- Négyzetgyök - √a az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a (a ≥ 0).
- n-edik gyök - ⁿ√a az a szám, amelynek n-edik hatványa a; páros n-nél nemnegatív, és csak a ≥ 0-ra létezik.
- Köbgyök - a harmadik gyök, ³√a; például ³√64 = 4.
- Racionális kitevőjű hatvány - a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), ha a > 0, m egész és n ≥ 2 egész.
- Normálalak - a · 10ᵏ alakú felírás, ahol 1 ≤ |a| < 10 és k egész szám.
- Abszolút érték - a szám nullától mért távolsága a számegyenesen; ezért √(a²) = |a|.
- Ne keverd össze: aⁿ · aᵐ és (aⁿ)ᵐ - szorzásnál a kitevők összeadódnak (2³ · 2⁴ = 2⁷), hatvány hatványozásánál összeszorzódnak ((2³)⁴ = 2¹²).
- Ne keverd össze: -2⁴ és (-2)⁴ - az első -16, a második 16.
14. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok
1. Mondd ki a hatványozás azonosságait, és mutasd meg az egyiket konkrét alapra!
Azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevők összeadódnak: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Osztáskor kivonódnak: aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ. Hatvány hatványozásakor összeszorzódnak: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ. Szorzat hatványa a hatványok szorzata, tört hatványa a hatványok hányadosa. Konkrét alapra: 2ⁿ · 2ᵐ az n darab 2-es és az m darab 2-es szorzata, ez együtt n + m darab 2-es, tehát 2ⁿ⁺ᵐ.
2. Mit jelent a 0 és a negatív kitevő?
Ha a ≠ 0, akkor a⁰ = 1 és a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. A hatványozást úgy terjesztjük ki ezekre a kitevőkre, hogy az azonosságok igazak maradjanak. A negatív kitevő tehát reciprokot jelent, nem negatív számot: 2⁻³ = 1/8. A 0⁰ nincs értelmezve.
3. Mi a négyzetgyök, és melyek az azonosságai?
Ha a ≥ 0, akkor √a az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a; például √9 = 3. Azonosságai: √(a · b) = √a · √b, ha a, b ≥ 0; √(a / b) = √a / √b, ha a ≥ 0 és b > 0; √(a²) = |a|. Ezekkel lehet kiemelni a gyökjel alól: √50 = 5√2. Összegre nincs ilyen szabály, √9 + √16 = 7, de √25 = 5.
4. Mi az n-edik gyök, és miben különbözik a páros és a páratlan eset?
Páros n-re, ha a ≥ 0, ⁿ√a az a nemnegatív szám, amelynek n-edik hatványa a; negatív számnak páros gyöke nincs. Páratlan n-re ⁿ√a minden valós a-ra az a valós szám, amelynek n-edik hatványa a. Például ⁴√81 = 3, ³√(-8) = -2. A gömb sugarát a térfogatból köbgyökvonással kapjuk meg.
5. Hogyan értelmezzük a racionális kitevőjű hatványt?
Ha a > 0, m egész és n ≥ 2 egész, akkor a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). A tört nevezője a gyökkitevő, a számlálója a hatványkitevő. Például 8^(2/3) = ³√64 = 4, és a^(1/2) = √a. A hatványozás azonosságai ilyen kitevőre is érvényesek. A 2024. májusi I. rész 5. feladatában a^(1/2) = 4-ből a = 16 jött ki.
6. Mi a normálalak, és hogyan számolsz vele?
Egy szám normálalakja a · 10ᵏ, ahol 1 ≤ |a| < 10 és k egész. Például 2 240 000 = 2,24 · 10⁶ és 0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴. Szorzáskor az első tényezőket összeszorzod, a 10 kitevőit összeadod; osztáskor osztasz és kivonsz. Összeadásnál előbb azonos kitevőre hozod a tagokat. Ha az első tényező kicsúszik az 1 és 10 közül, visszaigazítod: 12 · 10³ = 1,2 · 10⁴.
7. Határozd meg n értékét, ha 4³ · 8 / 2⁵ = 2ⁿ!
Mindent 2 hatványaként írunk: 4³ = (2²)³ = 2⁶, mert hatvány hatványánál a kitevőket összeszorozzuk, és 8 = 2³. A számlálóban a kitevők összeadódnak: 2⁶ · 2³ = 2⁹. Osztáskor kivonódnak: 2⁹ / 2⁵ = 2⁴. Tehát n = 4. Ugyanez a lépéssor kellett a 2026. májusi I. rész 7. feladatában (Mintapélda 1).
8. Mikor vonsz köbgyököt, és mikor n-edik gyököt egy szöveges feladatban?
Köbgyököt akkor, ha a térfogatból keresem a sugarat vagy az élt, mert a képletben r³ vagy a³ áll. Egy 2 literes félgömb alakú tálnál (2/3) · π · r³ = 2000, ebből r³ = 3000 / π ≈ 954,9 és r ≈ 9,8 cm. N-edik gyököt akkor, ha n év alatti növekedésből az évi szorzót keresem: 8 · q⁷⁸ = 10,35-ből q = ⁷⁸√1,29375 ≈ 1,0033. Mindkét esetben az egyenletet le kell írni, a gyökvonást a gép indoklás nélkül elvégezheti.