Halmazok, halmazműveletek, logika

Tételszám: #1 | Kategória: Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok | Szint: Középszint (2026)

1. Bevezetés

Ez a tétel a matekérettségi egyik legbiztosabb pontforrása. 2022 és 2026 között mind a tíz középszintű feladatsorban volt halmazos feladat, és egy feladatsorban átlagosan közel 10 pont jön ebből a témából.

Három feladattípussal fogsz találkozni. Az I. részben két halmazból kell elemfelsorolással megadnod az uniót, a metszetet vagy a különbséget (2-4 pont). A II. részben Venn-diagramot kell kitöltened vagy satíroznod, és egy szöveges feladatban a logikai szita segítségével kell megszámolnod, hány emberre igaz valami (akár 8 pont). Végül a logika: el kell döntened, hogy egy állítás igaz-e, és meg kell fogalmaznod a tagadását vagy a megfordítását.

A tétel 9. évfolyamos anyag, de mindenre ráépül: a megoldáshalmaz, az értelmezési tartomány és a valószínűség-számítás eseményei is halmazok. A felépítés: előbb a fogalmak és jelölések, utána öt valódi érettségi feladat lépésről lépésre, a végén a tipikus hibák és az ellenőrzés.

2. Mire jó ez, mikor ismerd fel

Ennél a tételnél a feladat szövege szinte mindig elárulja magát. Ezeket a jeleket keresd:

• „Elemei felsorolásával adja meg...” és a feladatban szerepel az ∪, ∩ vagy \ jel. Ez halmazművelet, 2-4 pontos I. részes feladat. Kapcsos zárójelben, elemenként sorolod fel az eredményt.
• „Jelölje satírozással...”, „Írja fel halmazműveletek segítségével...”, vagy egy ábra, amin egy téglalapban két-három kör van. Ez Venn-diagram.
• „Hányan vannak, akik se nem..., se nem...?”, „mindkettőt”, „közülük ... mindhármat”, „csak az egyiket”. Ez logikai szita. Ha két csoport van, képlet kell, ha három, akkor Venn-diagram belülről kifelé.
• „Döntse el, hogy igaz vagy hamis!”, „Adja meg a logikai értékét!” Ez logika: igaz állításnál indoklás, hamisnál ellenpélda kell.
• „Fogalmazza meg az állítás megfordítását!” vagy „Melyik az állítás tagadása?” Ez is logika, és itt a pontos megfogalmazáson múlik minden.

Gyakran nem tiszta halmazos feladatot kapsz, hanem keveréket. A halmazok oszthatósággal (2-vel, 3-mal, 5-tel osztható számok), négyszögfajtákkal vagy valószínűséggel együtt jönnek. A logikai kérdés pedig a geometriai feladat végén bukkan fel, például egy négyszög szimmetriájáról.

3. Fogalmak és jelölések

A jelöléseket fejből kell tudnod, mert a feladat szövege ezekkel adja meg, mit kér. A következő alszakaszok sorban végigveszik a halmazokat, aztán a logikát.

A halmaz megadása, eleme és egyenlősége

A halmaz dolgok összessége, és minden dologról egyértelműen eldönthető, hogy beletartozik-e. Ami beletartozik, az a halmaz eleme. Jelölése: 3 ∈ A (a 3 eleme az A halmaznak), és 6 ∉ A (a 6 nem eleme).

Egy halmazt háromféleképpen adhatsz meg:

1. Elemei felsorolásával, kapcsos zárójelben, pontosvesszővel elválasztva: A = {1; 2; 3; 4}. Az érettségin is ezt a formát használják.
2. Tulajdonsággal: B = {a 3-mal osztható pozitív egészek}. Végtelen halmazt általában így adsz meg, mert az elemeit nem tudod mind felsorolni.
3. Venn-diagrammal: az alaphalmaz egy téglalap, a halmazok benne zárt görbék (általában körök).

Két halmaz egyenlő, ha pontosan ugyanazok az elemeik. A sorrend és az ismétlés nem számít: {1; 2; 3} = {3; 1; 2} = {1; 1; 2; 3}. Ezért egy elemet felsorolásnál egyszer írsz le.

Alaphalmaz, részhalmaz, üres halmaz, komplementer

Az alaphalmaz (az érettségin a jele H) az a halmaz, amelynek elemeiről a feladat szól. Például a 2026. májusi feladatban ez az 50-nél kisebb pozitív egészek halmaza volt. Venn-diagramon ez a keret, a téglalap.

Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jele: A ⊆ B. Például {2; 4} ⊆ {1; 2; 3; 4}. Minden halmaz részhalmaza önmagának. Ha A ⊆ B, de A ≠ B, akkor A valódi részhalmaz, jele A ⊂ B. Venn-diagramon a részhalmaz köre teljesen a másik kör belsejében van.

Az üres halmaz az a halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs. Jele: ∅ vagy { }. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Vigyázz: a {0} nem üres, mert van egy eleme, a nulla.

Az A halmaz komplementere az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei A-nak. Jele: A̅ (A felülvonással). Ha H = {1; 2; 3; 4; 5} és A = {1; 2}, akkor A̅ = {3; 4; 5}. A komplementer mindig az alaphalmazhoz képest értendő, ezért alaphalmaz nélkül nincs értelme.

Unió, metszet, különbség

A három halmazművelet a legtöbb pontot érő eszköz ebben a tételben. Legyen A = {1; 2; 3; 4} és B = {1; 2; 4; 8}.

• Unió (egyesítés), A ∪ B: azok az elemek, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Itt A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 8}. A közös elemeket csak egyszer írod le.
• Metszet (közös rész), A ∩ B: azok az elemek, amelyek mindkét halmaznak elemei. Itt A ∩ B = {1; 2; 4}.
• Különbség, A \ B: azok az elemek, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Itt A \ B = {3}. Fordítva B \ A = {8}, tehát a különbségnél a sorrend számít.

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis a metszetük üres: A ∩ B = ∅. Például a páros és a páratlan számok halmaza diszjunkt.

A Venn-diagramon két metsző kör négy tartományra osztja a téglalapot. A bal kör saját része az A \ B, a jobb kör saját része a B \ A. A két kör közös része az A ∩ B. A körökön kívüli részbe azok az elemek kerülnek, amelyek egyik halmazba sem tartoznak. Három metsző körnél nyolc tartomány van: a három kör közös része a középen, három „pontosan kettőben” tartomány, három „csak egyben” tartomány és a körökön kívüli rész.

Ha egy kifejezésben több művelet és zárójel van, a zárójelet számold ki először, mint a számoknál. A (A ∩ B) \ C azt jelenti: előbb a közös elemek, aztán ebből kiveszed C elemeit.

Véges és végtelen halmaz, elemszám

Egy halmaz véges, ha megszámolhatod az elemeit, és végtelen, ha nem fogynak el. A {1; 2; 3; 4} véges, a páros számok halmaza végtelen. A véges A halmaz elemszáma az elemeinek száma, jele |A|. Például |{1; 2; 4; 8}| = 4, és |∅| = 0.

Egy n elemű halmaznak 2ⁿ részhalmaza van, az üres halmazt és magát a halmazt is beleszámolva, mert minden elemről külön eldöntöd, bekerül-e a részhalmazba (2 lehetőség), és ezt n-szer teszed meg. Az {a; b; c} részhalmazai: ∅, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c}, ez 2³ = 8 darab.

Hogy egy halmaz véges vagy végtelen, gyakran az alaphalmazon múlik. A 3-mal osztható pozitív egészek halmaza végtelen. Az 50-nél kisebb, 3-mal osztható pozitív egészek halmaza viszont véges, 16 eleme van (3, 6, ..., 48).

A végtelen halmazok fajtáinak megkülönböztetése (megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen) már emelt szint.

Ponthalmazok a koordináta-rendszerben

Egy halmaz elemei a sík pontjai is lehetnek. Ilyenkor a halmazt egy feltétel adja meg az (x; y) koordinátákra, és a feladat az, hogy a koordináta-rendszerben ábrázold.

Vegyük a {(x; y) | x ≥ 1 és y < 2} halmazt. Az x ≥ 1 feltétel az x = 1 egyenletű függőleges egyenest és a tőle jobbra eső félsíkot jelenti. Az y < 2 feltétel az y = 2 egyenletű vízszintes egyenes alatti félsíkot jelenti, az egyenes nélkül. Az „és” miatt a két félsík metszete kell: az a negyedsík, amely az x = 1 egyenestől jobbra és az y = 2 egyenes alatt van. A határoló x = 1 egyenest folytonos vonallal rajzolod (hozzátartozik), az y = 2 egyenest szaggatottal (nem tartozik hozzá).

A {(x; y) | x = 0 vagy y = 0} halmaz pedig a két tengely uniója. Az x = 0 pontjai az y tengelyen, az y = 0 pontjai az x tengelyen vannak.

A logikai szita két és három halmazra

A logikai szita azt mondja meg, hány elem van az unióban, ha ismered a halmazok és a metszetek elemszámát. Két halmazra:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Az ok egyszerű: ha |A|-t és |B|-t összeadod, a közös elemeket kétszer számoltad, ezért egyszer levonod őket. Ha a feladat az egyikbe sem tartozókat kérdezi, azt az alaphalmazból vonod ki: |H| - |A ∪ B|.

Három halmazra ugyanez az elv:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Itt a három kéttagú metszet levonásakor a középső, mindhárom halmazba tartozó elemeket háromszor vontad le, pedig háromszor is hozzáadtad őket. Ezért kell egyszer visszaadni.

A képletet nem kell magolnod: értsd, és a Venn-diagramból bármikor felírod. Háromhalmazos szöveges feladatban a biztosabb út a Venn-diagram kitöltése belülről kifelé. Először a mindhárom halmazba tartozók számát írod a középre. Aztán jönnek a „pontosan kettőben” tartományok, végül a „csak egyben” és a kívül eső rész. Ezt mutatja a 8. szakasz.

Logikai műveletek: nem, és, vagy, vagy-vagy

Az állítás (kijelentés) olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Ez a logikai értéke. A „7 prímszám” állítás, logikai értéke igaz. A „Hány éves vagy?” nem állítás, mert nincs logikai értéke.

Állításokból műveletekkel új állítást kapsz. Legyen A és B két állítás.

• Tagadás (negáció), „nem A”: pontosan akkor igaz, ha A hamis. A „7 prímszám” tagadása: „nem igaz, hogy 7 prímszám”, vagyis „7 nem prímszám”.
• „És” (konjunkció), „A és B”: pontosan akkor igaz, ha mindkettő igaz.
• Megengedő „vagy” (diszjunkció), „A vagy B”: pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik igaz, tehát akkor is, ha mindkettő.
• Kizáró „vagy”, „vagy A, vagy B”: pontosan akkor igaz, ha pontosan az egyik igaz.

Itt a legtöbben elrontják: a matematikában a sima „vagy” megengedő. A „2 páros vagy prím” állítás igaz, pedig a 2 mindkettő. A hétköznapi beszédben a „vagy” sokszor kizáró („teát vagy kávét kérsz?”), a matekban ezt a „vagy..., vagy...” szerkezet jelöli.

A logikai műveletek pontosan megfelelnek a halmazműveleteknek. Ha A egy tulajdonság halmaza, B egy másiké, akkor:

• „x ∈ A és x ∈ B” a metszet, A ∩ B;
• „x ∈ A vagy x ∈ B” az unió, A ∪ B;
• „x nem eleme A-nak” a komplementer, A̅;
• „x ∈ A, de nem eleme B-nek” a különbség, A \ B;
• „vagy x ∈ A, vagy x ∈ B” a két saját rész uniója, (A \ B) ∪ (B \ A).

Egy feladat például azt kéri, hogy írd fel műveletekkel „a 4-gyel osztható, de 3-mal nem osztható számokat”. Ha C a 4-gyel, B a 3-mal oszthatók halmaza, akkor a „de nem” különbséget jelent: C \ B.

Ha..., akkor és akkor és csak akkor

A „ha A, akkor B” (implikáció) állításban A a feltétel (előtag), B a következmény (utótag). Ez az állítás egyetlen esetben hamis: ha A igaz, de B hamis. Minden más esetben igaz.

Az „A akkor és csak akkor, ha B” (ekvivalencia) állítás pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke megegyezik: vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis.

A műveletek logikai értékét ez a táblázat foglalja össze (i = igaz, h = hamis):

Az érettségin a „ha..., akkor...” többnyire egy általános állításban jön, például „Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor a négyszög rombusz.” Egy ilyen állítás akkor igaz, ha minden esetben teljesül, amikor a feltétel igaz. Ha találsz egyetlen esetet, ahol a feltétel igaz, a következmény hamis, akkor az állítás hamis. A példában egy nem rombusz alakú téglalap átlói is felezik egymást, tehát az állítás hamis.

Halmazokkal: a „ha x ∈ A, akkor x ∈ B” állítás pontosan akkor igaz minden x-re, ha A ⊆ B. A „4-gyel osztható számok” halmaza részhalmaza a páros számokénak, ezért igaz, hogy „ha egy szám osztható 4-gyel, akkor páros”.

Minden és van olyan, a tagadás

A „minden” és a „van olyan” szó egy halmaz összes elemére, illetve legalább egy elemére mond valamit. A „minden prímszám páratlan” hamis, mert a 2 páros prím. A „van olyan prímszám, amelyik páros” igaz, éppen a 2 miatt.

A tagadásuk a vizsga egyik kedvenc kérdése. A szabály:

„Minden x ilyen.”        tagadása:  „Van olyan x, amelyik nem ilyen.”
„Van olyan x, ami ilyen.” tagadása:  „Egyik x sem ilyen.” (= „Nincs olyan x, ami ilyen.”)

A „minden” tagadása tehát nem az, hogy „egyik sem”. A „minden diák szereti a matekot” tagadása nem az, hogy „egyik diák sem szereti”, hanem az, hogy „van olyan diák, aki nem szereti”, vagy ugyanez másképp: „nem minden diák szereti”. Gondold végig: ha egyetlen diák nem szereti, az első állítás már megdőlt.

A tagadásnak mindig ellentétes logikai értéke van, mint az eredeti állításnak. Ez a próbája: ha az eredeti igaz, a tagadásnak hamisnak kell lennie, és fordítva.

Az „és”, „vagy” tagadásának általános szabályai (de Morgan azonosságok) már emelt szintű anyag.

Definíció, tétel, megfordítás, bizonyítás

A definíció egy fogalom pontos jelentését rögzíti, nem kell bizonyítani. Például: prímszám az a pozitív egész szám, amelynek pontosan két pozitív osztója van. A tétel igaz állítás, amelyet bizonyítani kell, és amely gyakran „ha..., akkor...” alakú. Például: ha egy háromszög derékszögű, akkor a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével (Pitagorasz-tétel).

A „ha A, akkor B” állítás megfordítása a „ha B, akkor A” állítás: a feltétel és a következmény helyet cserél. A megfordítás nem ugyanaz, mint a tagadás, és a logikai értéke nem öröklődik:

• „Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor páros.” Igaz. A megfordítása: „Ha egy szám páros, akkor osztható 4-gyel.” Hamis, ellenpélda a 6.
• A Pitagorasz-tétel megfordítása („ha egy háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű”) szintén igaz. Ha egy állítás és a megfordítása is igaz, akkor összevonhatod egy „akkor és csak akkor” állításba.

Egy általános állítás igazságát bizonyítással látod be, nem példákkal. Hiába próbálsz ki tíz számot, az nem bizonyítás. Egy általános állítás hamisságát viszont elég egyetlen ellenpéldával megmutatni.

Egyszerű bizonyítás például: „Két páros szám összege páros.” Egy páros szám felírható 2k alakban, egy másik 2m alakban, ahol k és m egész. Az összegük 2k + 2m = 2(k + m), ami 2-nek egész számú többszöröse, tehát páros. Ez minden páros számpárra igaz, nem csak a kipróbáltakra.

A szükséges és elégséges feltétel fogalma, valamint az indirekt bizonyítás már emelt szint.

4. Mintapélda 1: halmazműveletek elemfelsorolással (I. rész)

A feladat (2025. október, I. rész 7. feladat, 3 pont). Adott három halmaz: A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {1; 3; 5; 7; 9} és C = {1; 4; 9}. Add meg elemei felsorolásával az A ∪ B és az (A ∩ B) \ C halmazt!

Megoldás.

1. A ∪ B: minden elem, ami legalább az egyikben benne van.
   A elemei:            1, 2, 3, 5, 7
   B-ből ami még új:    9
   A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9}

2. A zárójel előbb: A ∩ B, a közös elemek.
   Végigmész A elemein, és megnézed, benne van-e B-ben:
   1 igen, 2 nem, 3 igen, 5 igen, 7 igen
   A ∩ B = {1; 3; 5; 7}

3. (A ∩ B) \ C: a közös elemekből kiveszed C elemeit.
   C = {1; 4; 9}, ebből csak az 1 van benne A ∩ B-ben.
   (A ∩ B) \ C = {3; 5; 7}

Válasz: A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9} és (A ∩ B) \ C = {3; 5; 7}.

Pontozás: az útmutató szerint az A ∪ B 1 pontot, az (A ∩ B) \ C 2 pontot ér. Itt csak a keretbe írt végeredményt nézik, ezért a zárójel sorrendje dönt: aki előbb a különbséget számolja, rossz halmazt kap.

Ugyanez visszafelé (2024. május, I. rész 1. feladat, 2 pont). Tudjuk, hogy A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, A ∩ B = {1; 2} és A \ B = {3; 4}. Add meg A-t és B-t!

A = (közös rész) ∪ (A saját része) = {1; 2} ∪ {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
B saját része = ami az unióban van, de A-ban nincs = {5; 6}
B = (közös rész) ∪ (B saját része) = {1; 2} ∪ {5; 6} = {1; 2; 5; 6}

Válasz: A = {1; 2; 3; 4} és B = {1; 2; 5; 6}. Mindkettő 1-1 pontot ér. Ellenőrizd: ezekből tényleg visszajön a megadott unió, metszet és különbség.

5. Mintapélda 2: kéthalmazos logikai szita (I. rész)

A feladat (2026. október, I. rész 5. feladat, 3 pont). Egy 67 fős évfolyam tanulói közül 40-en sportolnak, 24-en zenélnek, és közöttük 10-en sportolnak és zenélnek is. Hányan vannak, akik se nem sportolnak, se nem zenélnek? Válaszodat indokold!

Felismerés. Két csoport, van közös rész („közöttük 10-en ... is”), és a kívül esőket kérdezik. Ez a kéthalmazos szita. Jelölje S a sportolók, Z a zenélők halmazát.

Megoldás.

1. Aki sportol vagy zenél (unió), a szita szerint:
   |S ∪ Z| = |S| + |Z| - |S ∩ Z| = 40 + 24 - 10 = 54
   (a 10 főt a 40-ben és a 24-ben is számoltuk, ezért egyszer levonjuk)

2. Aki egyiket sem csinálja, az az évfolyamból a maradék:
   67 - 54 = 13

Válasz: az évfolyamon 13 tanuló van, aki se nem sportol, se nem zenél.

Pontozás: a 40 + 24 - 10 = 54 felírása 2 pontot, a 67 - 54 = 13 1 pontot ér. A feladat indoklást kér, tehát a puszta „13” nem ér teljes pontot.

Rokon feladat (2024. október, I. rész 3. feladat, 2 pont): 30 vevő mind vett kenyeret, 22-en fehéret, 17-en rozsot. Itt az unió ismert (30), és a metszetet keresed: 22 + 17 - 30 = 9-en vettek mindkét fajtát. Ugyanaz a képlet, csak más az ismeretlen.

6. Mintapélda 3: Venn-diagram oszthatósággal (II. A rész)

A feladat (2026. május, II. rész 14. a) és b), 4 + 2 pont). Az alaphalmaz (H) az 50-nél kisebb pozitív egész számok halmaza. Részhalmazai: A a 2-vel, B a 3-mal, C az 5-tel osztható számok halmaza. Az ábrán egy téglalapban három metsző kör van: A bal felül, B jobb felül, C alul középen.

a) Jelöld satírozással a C \ (A ∪ B) halmazt, és sorold fel az elemeit! b) Egy másik ábrán az a tartomány van besatírozva, amely A-ban és B-ben is benne van, de C-n kívül esik. Írd fel ezt a halmazt halmazműveletekkel!

Megoldás, a) rész.

1. Mit jelent a C \ (A ∪ B)?
   A zárójel: A ∪ B = a 2-vel VAGY 3-mal osztható számok.
   C \ (A ∪ B) = az 5-tel oszthatók közül azok, amelyek
                 sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók.

2. Satírozás: a C kör azon része, amely sem az A, sem a B körbe nem lóg bele.
   Ez a C körnek a „csak C” tartománya, egyetlen tartomány.

3. Elemek: az 50-nél kisebb, 5-tel osztható számok:
   5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45
   Kiesik, ami páros: 10, 20, 30, 40
   Kiesik, ami 3-mal osztható: 15, 30, 45
   Marad: 5, 25, 35

Megoldás, b) rész.

A satírozott tartomány: A-ban IS, B-ben IS benne van  ->  A ∩ B
                        de C-ben NINCS benne           ->  \ C
Tehát: (A ∩ B) \ C

Válasz: a) C \ (A ∪ B) = {5; 25; 35}. b) A satírozott halmaz (A ∩ B) \ C. Ennek elemei a 6-tal osztható, de 5-tel nem osztható számok: 6, 12, 18, 24, 36, 42, 48 (a 30 kiesik, mert az a középső, mindhárom körbe tartozó tartományban van).

Pontozás: az a) részben a helyes satírozás 2 pontot, az elemek felsorolása 2 pontot ér, egy hibás vagy kihagyott elem esetén 1 pont jár. A b) rész 2 pont, és az útmutató csak példaként adja az (A ∩ B) \ C alakot: minden vele egyenértékű felírás elfogadható.

Hasonló feladat (2022. május, II. rész 18. c), 5 pont): az egyjegyű pozitív egészeket kell beírni egy háromkörös diagramba, ahol a körök a négyzetszámok, az összetett számok és a 3-mal osztható számok. Számonként végigkérdezed a három tulajdonságot. A 9 mindhárom körbe kerül (négyzetszám, összetett, osztható 3-mal). A 4 a négyzetszámok és az összetettek közös részébe, a 6 az összetettek és a 3-mal oszthatók közös részébe. Az 1 csak a négyzetszámokba, a 3 csak a 3-mal oszthatókba, a 8 csak az összetettekbe. A 2, 5 és 7 egyik körbe sem, a téglalapba kerül. Az 1 nem összetett szám, és nem is prím.

7. Mintapélda 4: tagadás és megfordítás (I. és II. rész)

Első feladat (2023. május, I. rész 9. feladat, 2 pont). Az állítás: „Minden út Rómába vezet.” Válaszd ki azokat, amelyek ennek tagadásai!

• A: Nincs olyan út, ami Rómába vezet.
• B: Van olyan út, amelyik nem Rómába vezet.
• C: Semelyik út nem vezet Rómába.
• D: Nem minden út vezet Rómába.

Megoldás.

1. Az eredeti állítás „minden” típusú.
2. Tagadása: „van olyan, amelyik nem”, vagy ugyanez: „nem minden”.
   B pontosan ez, D pedig ugyanennek a másik megfogalmazása.
3. A és C ugyanazt mondja: egyik út sem vezet Rómába.
   Ez túl erős: ha csak egyetlen út nem vezet Rómába, az eredeti
   már hamis, de A és C még nem igaz. Ezek nem tagadások.

Válasz: a tagadások a B és a D. Az útmutató szerint a két jó válasz 2 pont, egy jó válasz (vagy két jó és egy rossz) 1 pont.

Második feladat (2024. október, II. rész 15. c) és d), 2 + 3 pont). Az állítás: „Ha egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, akkor az a négyszög középpontosan is szimmetrikus.”

c) Döntsd el, hogy igaz vagy hamis! Indokold! d) Fogalmazd meg a megfordítását, és döntsd el, hogy igaz vagy hamis! Indokold!

Megoldás, c) rész.

1. Általános „ha..., akkor...” állítás: igaz, ha MINDEN tengelyesen
   szimmetrikus négyszögre teljesül. Hamis, ha van egy ellenpélda.
2. Keresek tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem szimmetrikus
   négyszöget. A középpontosan szimmetrikus négyszögek éppen a
   paralelogrammák, tehát olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög kell,
   amelyik nem paralelogramma.
3. Ilyen a deltoid, amely nem rombusz: a szimmetriatengelye az egyik átló,
   de a szemközti oldalai nem párhuzamosak.
   Ilyen a húrtrapéz is, amely nem téglalap.
4. Van ellenpélda, tehát az állítás hamis.

Megoldás, d) rész.

1. Megfordítás: a feltétel és a következmény helyet cserél.
   „Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor tengelyesen is
   szimmetrikus.”
2. Ellenpélda: olyan paralelogramma, amely nem rombusz és nem téglalap
   (például 6 cm és 5 cm oldalú, 70°-os szögű). Középpontosan
   szimmetrikus, de nincs szimmetriatengelye.
3. Van ellenpélda, tehát a megfordítás is hamis.

Válasz: c) Az állítás hamis, ellenpélda egy deltoid, amely nem rombusz. d) A megfordítás: „Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor tengelyesen is szimmetrikus.” Ez is hamis, ellenpélda egy olyan paralelogramma, amely se nem rombusz, se nem téglalap.

Pontozás: a c) részben 1 pont jár a „hamis” válaszért és 1 pont a megfelelő ellenpéldáért. A d) részben 1 pont a megfordítás helyes megfogalmazásáért, 1 pont a „hamis” válaszért, 1 pont az ellenpéldáért. A puszta „hamis” tehát csak a pontok felét hozza.

Halmazos változat (2022. május, II. rész 18. b), 3 pont). Az „ha B üres halmaz, akkor A ∩ B üres halmaz” állítás igaz. Megfordítása: „ha A ∩ B üres halmaz, akkor B üres halmaz”. Ez hamis, ellenpélda két diszjunkt halmaz, ahol B nem üres, például A = {1} és B = {2}.

8. Mintapélda 5: háromhalmazos logikai szita (II. B rész)

A feladat (2025. május, II. rész 16. c), 8 pont). Egy 32 fős munkahelyen mindenkit megkérdeztek, melyik mobilszolgáltatónál (Alfa, Béta, Gamma) volt már előfizetése. 5 főnek az Alfánál és a Bétánál is, 6 főnek a Bétánál és a Gammánál is, 7 főnek az Alfánál és a Gammánál is volt már előfizetése, közülük 4 főnek mindhárom szolgáltatónál. 1 főnek egyik szolgáltatónál sem volt. Akiknek csak az Alfánál volt előfizetésük, kétszer annyian vannak, mint akiknek csak a Bétánál, és feleannyian, mint akiknek csak a Gammánál. Hány főnek volt már előfizetése a Bétánál?

Felismerés. Három csoport, megadott páronkénti metszetek, a „közülük” szó a mindhárom halmazba tartozókat jelöli. Rajzolj háromkörös Venn-diagramot (A, B, G), és töltsd ki belülről kifelé.

Megoldás.

1. Középre (mindhárom): 4 fő.

2. „Pontosan kettőben” tartományok: a megadott számokban a 4 fő is benne van,
   ezért levonod:
   csak Alfa és Béta:   5 - 4 = 1 fő
   csak Béta és Gamma:  6 - 4 = 2 fő
   csak Alfa és Gamma:  7 - 4 = 3 fő

3. Aki legalább egy szolgáltatónál volt előfizető:
   32 - 1 = 31 fő                (az 1 fő a körökön kívül van)

4. Aki pontosan egynél:
   31 - (1 + 2 + 3 + 4) = 21 fő

5. A „csak egyben” tartományok, egy ismeretlennel:
   csak Béta:  x
   csak Alfa:  2x                (kétszer annyi, mint csak Béta)
   csak Gamma: 4x                (az Alfa ennek a fele, tehát Gamma = 2 · 2x)

6. Egyenlet:  x + 2x + 4x = 21
              7x = 21
              x = 3

7. A Bétánál előfizetők: a B kör összes tartománya
   csak Béta + csak A és B + csak B és G + mindhárom
   = 3 + 1 + 2 + 4 = 10

Válasz: a megkérdezettek közül 10 főnek volt már előfizetése a Bétánál.

Pontozás (8 pont): a három „pontosan kettőben” szám 2 pontot ér, a 31 fő és a 21 fő 1-1 pontot. Az ismeretlenek helyes bevezetése (x, 2x, 4x), az egyenlet, az x = 3 és a végeredmény szintén 1-1 pont. A pontok a leírt részeredményekhez tartoznak, ezért minden tartomány számát írd le, ne csak a diagramba.

Ellenőrzés. Csak Alfa 6, csak Gamma 12. A teljes Venn-diagram: 4 + 1 + 2 + 3 + 3 + 6 + 12 = 31, plusz a kívül álló 1 fő, összesen 32. Stimmel. A háromhalmazos szita képletével is: az Alfánál 14, a Bétánál 10, a Gammánál 21 fő volt, és 14 + 10 + 21 - 5 - 6 - 7 + 4 = 31.

Hasonló feladat (2024. május, II. rész 17. d), 6 pont): 20 rendelésből 2-ben egyik sütemény sem volt, 1-ben mindhárom. A páronkénti metszetekből ugyanígy jön a „pontosan kettőben” rész (2, 5 és 4 rendelés), és egy egyenlettel kijön, hogy 1 rendelésben volt csak krémes.

9. Tipikus hibák

A „mindkettőnél” számában a „mindháromnál” is benne van. A 2025. májusi feladatban az „5 főnek az Alfánál és a Bétánál is” a középső 4 főt is tartalmazza. Aki az 5-öt közvetlenül a „csak Alfa és Béta” tartományba írja, minden további lépést elront. Mindig belülről kifelé tölts, és a páronkénti számokból vond le a középsőt.

Kimarad az egyikbe sem tartozó csoport. A „1 főnek egyik szolgáltatónál sem volt” adat a téglalapba, a körökön kívülre kerül. Ha elfelejted, a 32-ből számolsz 31 helyett, és rossz egyenletet kapsz.

A különbség sorrendje. Az A \ B és a B \ A két különböző halmaz. Az A \ B-ben az A azon elemei vannak, amelyek B-ben nincsenek. Olvasd úgy: „A, de nem B”.

A zárójel kihagyása. A C \ (A ∪ B) nem ugyanaz, mint a (C \ A) ∪ B. Előbb mindig a zárójelben lévő műveletet végezd el.

A „minden” tagadása nem „egyik sem”. A „minden út Rómába vezet” tagadása: „van olyan út, amelyik nem Rómába vezet”. A „semelyik út nem vezet Rómába” túl erős állítás, ez nem a tagadás.

A megfordítást összekeverik a tagadással. A „ha A, akkor B” megfordítása „ha B, akkor A”: csak a két rész cserél helyet, tagadószó nem kerül bele. És attól, hogy az eredeti igaz, a megfordítás még lehet hamis.

Általános állítást példával „bizonyítanak”. Három jó példa nem bizonyítja, hogy egy állítás mindig igaz. Hamis állításnál viszont egy ellenpélda elég, és a pontért ezt le is kell írni.

A „vagy” kizárónak értik. A matematikában a „vagy” megengedő: az A ∪ B elemei között azok is ott vannak, amelyek mindkét halmazba tartoznak.

Elemet kétszer írnak le, vagy a {0}-t üresnek hiszik. Az unió felsorolásánál a közös elemeket csak egyszer írd le. Az üres halmaz ∅, a {0} egyelemű halmaz.

10. Ellenőrzés

1. Elemfelsorolásnál menj végig elemenként. Az eredmény minden elemére kérdezd meg: tényleg teljesíti a feltételt? És fordítva: kimaradt-e olyan elem, ami teljesíti? A C \ (A ∪ B) = {5; 25; 35} esetén mindhárom szám 5-tel osztható, és egyik sem páros vagy 3-mal osztható.

2. Szitás feladatnál add össze a tartományokat. A Venn-diagram összes tartományának összege, a körökön kívüli részt is beleértve, pontosan az alaphalmaz elemszáma kell, hogy legyen. A 2025. májusi feladatban ez 32.

3. Helyettesíts vissza a szöveg feltételeibe. Ha csak Béta 3, csak Alfa 6 és csak Gamma 12, akkor tényleg 6 = 2 · 3, és tényleg 6 = 12 / 2. Ha egy feltétel nem teljesül, hibáztál.

4. Ésszerűségi próba. Egy tartományban sem lehet negatív szám vagy tört, mert emberek vagy elemek számáról van szó. A metszet sosem lehet nagyobb a kisebbik halmaznál, az unió sosem kisebb a nagyobbiknál.

5. A tagadás logikai értéke ellentétes. Ha az eredeti állítás igaz, a tagadásnak hamisnak kell lennie. Ha mindkettőt igaznak látod, nem tagadást írtál.

6. Az ellenpéldát ellenőrizd mindkét feltételre. Az ellenpéldának a feltételt teljesítenie kell, a következményt nem. A deltoid tengelyesen szimmetrikus (feltétel teljesül), de nem középpontosan (következmény nem teljesül): jó ellenpélda.

11. Összefoglaló

• A halmazt megadhatod elemei felsorolásával, tulajdonsággal vagy Venn-diagrammal; a sorrend és az ismétlés nem számít.
• A ⊆ B, ha A minden eleme B-nek is eleme; az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza; egy n elemű halmaznak 2ⁿ részhalmaza van.
• Az A̅ komplementer az alaphalmaz A-n kívüli elemei; alaphalmaz nélkül nincs értelme.
• Az A ∪ B a legalább az egyikbe, az A ∩ B a mindkettőbe, az A \ B az A-ba igen, de B-be nem tartozó elemek halmaza.
• A kéthalmazos logikai szita: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|; az egyikbe sem tartozók száma |H| - |A ∪ B|.
• Háromhalmazos szitánál a Venn-diagramot belülről kifelé töltöd, a páronkénti számokból levonod a mindháromba tartozókat.
• Az „és” a metszetnek, a „vagy” az uniónak, a „nem” a komplementernek, az „A, de nem B” a különbségnek felel meg.
• A matematikai „vagy” megengedő; a kizáró vagy a „vagy..., vagy...” szerkezet.
• A „ha A, akkor B” csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis; az „akkor és csak akkor” akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke azonos.
• A „minden ... ilyen” tagadása: „van olyan, amelyik nem ilyen”, és nem az, hogy „egyik sem”.
• A megfordítás a feltételt és a következményt cseréli fel; logikai értéke eltérhet az eredetiétől.
• Általános állítást bizonyítással látsz be, és egyetlen ellenpéldával cáfolsz.

12. Kulcsfogalmak

• Halmaz - dolgok összessége, és minden dologról eldönthető, hogy beletartozik-e; jele nagybetű, elemei kapcsos zárójelben.
• Alaphalmaz - az a halmaz, amelynek elemeiről a feladat szól; Venn-diagramon a keretező téglalap.
• Részhalmaz - A ⊆ B, ha A minden eleme B-nek is eleme.
• Üres halmaz - elem nélküli halmaz, jele ∅; minden halmaz részhalmaza.
• Komplementer halmaz - A̅: az alaphalmaz azon elemei, amelyek nem elemei A-nak.
• Unió - A ∪ B: a legalább az egyik halmazba tartozó elemek halmaza.
• Metszet - A ∩ B: a mindkét halmazba tartozó elemek halmaza.
• Különbség - A \ B: az A azon elemei, amelyek B-nek nem elemei.
• Diszjunkt halmazok - két halmaz, amelynek nincs közös eleme: A ∩ B = ∅.
• Elemszám - véges halmaz elemeinek száma, jele |A|.
• Logikai szita - az unió elemszámának kiszámítása a halmazok és metszeteik elemszámából.
• Állítás - mondat, amelynek logikai értéke egyértelműen igaz vagy hamis.
• Implikáció - „ha A, akkor B”; csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis.
• Ekvivalencia - „A akkor és csak akkor, ha B”; akkor igaz, ha A és B logikai értéke megegyezik.
• Megfordítás - a „ha A, akkor B” állításból a „ha B, akkor A” állítás.
• Ellenpélda - egy eset, amelyben a feltétel teljesül, de a következmény nem; egy is elég az általános állítás cáfolatához.
• Ne keverd össze: megengedő és kizáró vagy - a „vagy” mindkettő esetén is igaz, a „vagy..., vagy...” csak pontosan az egyik esetén.
• Ne keverd össze: tagadás és megfordítás - a tagadás ellentétes logikai értékű, a megfordítás felcseréli a feltételt és a következményt.

13. Lehetséges vizsgakérdések és rövid válaszok

1. Mikor mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak? Mondj példát!

Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jele A ⊆ B. Például {2; 4} ⊆ {1; 2; 3; 4}, mert a 2 és a 4 is eleme a nagyobb halmaznak. Minden halmaz részhalmaza önmagának, és az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Venn-diagramon a részhalmaz köre teljesen a másik kör belsejében van. Halmazok egyenlősége azt jelenti, hogy mindkettő részhalmaza a másiknak, vagyis pontosan ugyanazok az elemeik.

2. Definiáld az unió, a metszet és a különbség műveletét!

Két halmaz uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei, jele A ∪ B. A metszetük azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei, jele A ∩ B. Az A és B különbsége az A azon elemeinek halmaza, amelyek B-nek nem elemei, jele A \ B. A különbségnél a sorrend számít, az A \ B és a B \ A általában különböző. Ha a metszet üres, a két halmaz diszjunkt. Például A = {1; 2; 3; 4} és B = {1; 2; 4; 8} esetén A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 8}, A ∩ B = {1; 2; 4}, A \ B = {3}.

3. Mit mond ki a logikai szita két és három halmazra, és miért működik?

Két halmazra |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Az ok: amikor a két halmaz elemszámát összeadjuk, a közös elemeket kétszer számoltuk, ezért egyszer levonjuk őket. Három halmazra |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. A mindhárom halmazba tartozó elemeket háromszor adtuk hozzá és háromszor vontuk le, ezért egyszer vissza kell adni őket. Szöveges feladatban a háromkörös Venn-diagram belülről kifelé kitöltése a biztosabb út. Ha az egyik halmazba sem tartozók számát kérdezik, az unió elemszámát az alaphalmazéból vonjuk le.

4. Hogyan kapcsolódnak a logikai műveletek a halmazműveletekhez?

Ha egy elemre két tulajdonságot vizsgálunk, és A, illetve B az ezekkel rendelkező elemek halmaza, akkor az „és” a metszetnek felel meg, mert mindkét tulajdonságnak teljesülnie kell. A megengedő „vagy” az uniónak felel meg, mert legalább az egyiknek kell teljesülnie. A „nem” a komplementernek, az „A, de nem B” a különbségnek felel meg. A kizáró „vagy..., vagy...” az (A \ B) ∪ (B \ A) halmaznak felel meg. A „ha x ∈ A, akkor x ∈ B” állítás pontosan akkor igaz minden elemre, ha A ⊆ B.

5. Mikor igaz egy „ha..., akkor...” és egy „akkor és csak akkor” állítás?

A „ha A, akkor B” állítás egyetlen esetben hamis: ha a feltétel, vagyis A igaz, a következmény, vagyis B pedig hamis. Minden más esetben igaz. Egy általános „ha..., akkor...” állítás tehát akkor igaz, ha minden esetben, amikor a feltétel teljesül, a következmény is teljesül. Ha egyetlen ellenpéldát találunk, az állítás hamis. Az „A akkor és csak akkor, ha B” állítás akkor igaz, ha A és B logikai értéke megegyezik. Ez azt jelenti, hogy az állítás és a megfordítása is igaz.

6. Hogyan tagadod a „minden” és a „van olyan” típusú állítást?

A „minden x ilyen” állítás tagadása: „van olyan x, amelyik nem ilyen”, vagy ugyanez másképp: „nem minden x ilyen”. A „van olyan x, ami ilyen” állítás tagadása: „egyik x sem ilyen”. Gyakori hiba, hogy a „minden” tagadását „egyik sem” alakban írják, de ez túl erős állítás. A „minden út Rómába vezet” tagadása például „van olyan út, amelyik nem Rómába vezet”. A tagadás logikai értéke mindig ellentétes az eredeti állításéval, ezzel lehet ellenőrizni.

7. Mi egy állítás megfordítása? Igaz-e a megfordítás, ha az eredeti igaz?

A „ha A, akkor B” állítás megfordítása a „ha B, akkor A” állítás, vagyis a feltétel és a következmény helyet cserél. A megfordítás logikai értéke nem öröklődik. A „ha egy szám osztható 4-gyel, akkor páros” igaz, de a megfordítása, „ha egy szám páros, akkor osztható 4-gyel”, hamis, ellenpélda a 6. A Pitagorasz-tételnek viszont a megfordítása is igaz. Ha egy állítás és a megfordítása is igaz, összevonhatjuk egy „akkor és csak akkor” állításba.

8. Mi a különbség a definíció és a tétel között, és hogyan döntöd el egy állításról, hogy igaz-e?

A definíció egy fogalom pontos jelentését rögzíti, ezt nem kell bizonyítani; például a prímszám olyan pozitív egész, amelynek pontosan két pozitív osztója van. A tétel bizonyított igaz állítás, gyakran „ha..., akkor...” alakban. Egy általános állítás igazságát bizonyítással kell belátni, példák felsorolása nem bizonyítás. Például két páros szám összege 2k + 2m = 2(k + m), ami páros. Egy általános állítás hamisságához viszont elég egyetlen ellenpélda: olyan eset, amelyben a feltétel teljesül, de a következmény nem.